II. ĐƯỜNG TRÒN

Đường tròn (C) có tâm \(I=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)\), bán kính \(R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)

a, Tọa độ giao điểm có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-x-7y=0\\3x-4y-3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{93}{25}\\y=\dfrac{51}{25}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(1;0\right)\\\left(\dfrac{93}{25};\dfrac{51}{25}\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy các giao điểm là \(\left(1;0\right),\left(\dfrac{93}{25};\dfrac{51}{25}\right)\)

b, +) Giao điểm \(M=\left(1;0\right)\)

Phương trình tiếp tuyến qua \(M=\left(1;0\right)\) có dạng: \(\Delta:ax+by-a=0\)

Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|\dfrac{1}{2}.a+\dfrac{7}{2}b-a\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|7b-a\right|=5\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow49a^2+14ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(7a+b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow7a=-b\)

\(\Rightarrow\Delta:x-7y-1=0\)

+) Giao điểm \(\left(\dfrac{93}{25};\dfrac{51}{25}\right)\)

Tượng tự ta tìm được: \(\Delta:161x-73y-450=0\)

Vậy hai tiếp tuyến cần tìm là: \(\Rightarrow\Delta:x-7y-1=0\) và \(\Delta:161x-73y-450=0\)

c, Giao điểm hai tiếp tuyến có tọa độ là nghiệm hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-7y-1=0\\161x-73y-450=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{181}{62}\\y=\dfrac{17}{62}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H=\left(\dfrac{181}{62};\dfrac{17}{62}\right)\)

Vậy \(H=\left(\dfrac{181}{62};\dfrac{17}{62}\right)\) là giao điểm hai tiếp tuyến.

(C) và (C') cùng đi qua AB nên tâm của (C') nằm trên trung trực AB

Tung độ A, B thỏa mãn:

\(y^2+4y+1=0\Rightarrow\dfrac{y_1+y_2}{2}=-2\)

\(\Rightarrow\) Tâm J của (C') có tọa độ dạng: \(\left(a;-2\right)\)

Gọi P là trung điểm MN \(\Rightarrow JP\perp MN\)

\(JP=\left|y_J\right|=2\Rightarrow R'=JM=\sqrt{MP^2+IP^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)

Phương trình (C') có dạng: \(\left(x-a\right)^2+\left(y+2\right)^2=13\)

Thay tọa độ \(A\left(0;-2+\sqrt{3}\right)\) vào ta được:

\(a^2+\left(-2+\sqrt{3}+2\right)^2=13\Leftrightarrow a=\pm\sqrt{10}\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x+\sqrt{10}\right)^2+\left(y+2\right)^2=13\\\left(x-\sqrt{10}\right)^2+\left(y+2\right)^2=13\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Do $I\in (x-2y-1=0)$ nên gọi tọa độ của $I$ là $(2a+1,a)$

Đường tròn đi qua 2 điểm $A,B$ nên: $IA^2=IB^2=R^2$

$\Leftrightarrow (2a+1+2)^2+(a-1)^2=(2a+1-2)^2+(a-3)^2=R^2$

$\Rightarrow a=0$ và $R^2=10$

Vậy PTĐTr là: $(x-1)^2+y^2=10$

Giả sử \(I=\left(2m+1;m\right)\)

Ta có: \(IA=IB\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(-2-2m-1\right)^2+\left(1-m\right)^2}=\sqrt{\left(2-2m-1\right)^2+\left(3-m\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow4m^2+9+12m+m^2-2m+1=4m^2-4m+1+m^2-6m+9\)

\(\Leftrightarrow5m^2+10m+10=5m^2-10m+10\)

\(\Leftrightarrow m=0\)

\(\Rightarrow I=\left(1;0\right)\)

Bán kính \(R=\sqrt{\left(2-1\right)^2+3^2}=\sqrt{10}\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x-1\right)^2+y^2=10\)

Từ pt (E) ta xác định được: \(a=5;b=3;c=4\)

\(F_1F_2=2c=8\Rightarrow\) chu vi tam giác \(MF_1F_2=MF_1+MF_2+F_1F_2=2a+2c=18\)

\(\Rightarrow\) nửa chu vi \(p=9\)

Tam giác \(MF_1F_2\) vuông tại M \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}F_1F_2=4\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\overrightarrow{OM}=\left(x;y\right)\Rightarrow OM^2=x^2+y^2=16\)

\(\Rightarrow x^2=16-y^2\)

Thay vào pt (E):

\(\dfrac{16-y^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\Rightarrow y^2=\dfrac{81}{16}\Rightarrow\left|y\right|=\dfrac{9}{4}\)

\(S_{MF_1F_2}=\dfrac{1}{2}F_1F_2.d\left(M;F_1F_2\right)=\dfrac{1}{2}.2c.\left|y\right|=9\)

\(\Rightarrow r=\dfrac{S_{MF_1F_2}}{p}=1\)

(E) có \(c^2=16-12=4\Rightarrow c=2\)

Hai tiêu điểm: \(F_1\left(-2;0\right)\) ; \(F\left(2;0\right)\)

\(\dfrac{1}{16}+\dfrac{y_M^2}{12}=1\Rightarrow y_M=\pm\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\) (chỉ cần lấy 1 trong 2 giá trị do tính đối xứng qua trục hoành của elip)

\(\Rightarrow M\left(1;\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\right)\Rightarrow\overrightarrow{MF_1}=\left(3;-\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\right)\)

\(\Rightarrow MF_1=\sqrt{9+\dfrac{45}{4}}=\dfrac{9}{2}\) ; \(MF_2=2a-MF_1=8-\dfrac{9}{2}=\dfrac{7}{2}\)

\(\dfrac{\pi}{2}< a< \pi\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sina>0\\cosa< 0\end{matrix}\right.\)

\(sin2a=-\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow sina.cosa=-\dfrac{5}{18}\Rightarrow cosa=-\dfrac{5}{18sina}\)

Thế vào \(sin^2a+cos^2a=1\)

\(sin^2a+\dfrac{25}{324sin^2a}=1\Leftrightarrow sin^4a-sin^2a+\dfrac{25}{324}=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sin^2a=\dfrac{9-2\sqrt{14}}{8}\\sin^2a=\dfrac{9+2\sqrt{14}}{8}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sina=\sqrt{\dfrac{9-2\sqrt{14}}{8}};cosa=-\sqrt{\dfrac{9+2\sqrt{14}}{8}}\\sina=\sqrt{\dfrac{9+2\sqrt{14}}{8}};cosa=-\sqrt{\dfrac{9-2\sqrt{14}}{8}}\end{matrix}\right.\)

a.

\(\pi< a< \dfrac{3\pi}{2}\Rightarrow sina< 0\)

\(\Rightarrow sina=-\sqrt{1-cos^2a}=-\dfrac{12}{13}\)

\(cos2a=cos^2a-sin^2a=\left(-\dfrac{5}{12}\right)^2-\left(-\dfrac{12}{13}\right)^2=...\)

\(sin2a=2sina.cosa=...\)

\(tan2a=\dfrac{sin2a}{cos2a}=...\)

//

\(\dfrac{\pi}{2}< a< \pi\Rightarrow sina>0\Rightarrow sina=\sqrt{1-cos^2a}=\dfrac{12}{13}\)

\(cos2a=cos^2a-sin^2a=...\) ; \(sin2a=2sina.cosa\) ; \(tan2a=\dfrac{sin2a}{cos2a}\) ...

//

\(-\dfrac{\pi}{2}< a< 0\Rightarrow sina< 0\Rightarrow sina=-\sqrt{1-cos^2a}=-\dfrac{3}{5}\)

Thay vào tính cos2a, sin2a, tan2a tương tự như trên

b.

\(\pi< a< \dfrac{3\pi}{2}\Rightarrow cosa< 0\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^2a}=-\dfrac{4}{5}\)

Tính tương tự câu a

c.

\(\dfrac{3\pi}{4}< a< \pi\Rightarrow\dfrac{3\pi}{2}< 2a< 2\pi\Rightarrow cos2a>0\)

\(sina+cosa=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left(sina+cosa\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow1+2sina.cosa=\dfrac{1}{4}\Rightarrow1+sin2a=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow sin2a=-\dfrac{3}{4}\)

\(cos2a=\sqrt{1-sin^22a}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)

\(tan2a=\dfrac{sin2a}{cos2a}=...\)

a.

\(sin^4a+cos^4a=\left(sin^2a+cos^2a\right)^2-2sin^2a.cos^2a\)

\(=1-\dfrac{1}{2}\left(2sina.cosa\right)^2=1-\dfrac{1}{2}sin^22a\)

\(=1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos4a\right)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}cos4a\)

b.

\(sin^6a+cos^6a=\left(sin^2a+cos^2a\right)^2-3sin^2a.cos^2a\left(sin^2a+cos^2a\right)\)

\(=1-3sin^2a.cos^2a=1-\dfrac{3}{4}\left(2sina.cosa\right)^2\)

\(=1-\dfrac{3}{4}sin^22a=1-\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos4a\right)\)

\(=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}cos4a\)

e.

\(\dfrac{cos2a}{1+sin2a}=\dfrac{cos^2a-sin^2a}{sin^2a+cos^2a+2sina.cosa}=\dfrac{\left(cosa-sina\right)\left(cosa+sina\right)}{\left(sina+cosa\right)^2}=\dfrac{cosa-sina}{cosa+sina}\)

f.

\(cotx+tanx=\dfrac{cosx}{sinx}+\dfrac{sinx}{cosx}\)

\(=\dfrac{sin^2x+cos^2x}{sinx.cosx}=\dfrac{1}{sinx.cosx}\)

\(=\dfrac{2}{2sinx.cosx}=\dfrac{2}{sin2x}\)

c.

\(sina.cos^5a-cosa.sin^5a=sina.cosa\left(cos^4a-sin^4a\right)\)

\(=sina.cosa\left(cos^2a-sin^2a\right)\left(cos^2a+sin^2a\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}.\left(2sina.cosa\right)\left(cos^2a-sin^2a\right).1\)

\(=\dfrac{1}{2}sin2a.cos2a=\dfrac{1}{4}sin4a\)

d.

\(=\left(cos^4a-sin^4a\right)\left(cos^4a+sin^4a\right)\)

\(=\left(cos^2a-sin^2a\right)\left(cos^2a+sin^2a\right)\left(1-\dfrac{1}{2}sin^22a\right)\) (sử dụng kết quả câu a)

\(=cos2a\left(1-\dfrac{1}{2}sin^22a\right)=cos2a-\dfrac{1}{2}cos2a.sin2a.sin2a\)

\(=cos2a-\dfrac{1}{4}sin4a.sin2a\)