Hình bạn tự vẽ nhé. 

Ta có: B' là điểm đối xứng của B qua O( tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) \(\Rightarrow BB'\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \(\Rightarrow\Lambda BAB'\) và \(\Lambda BCB'\) là góc chắn nửa đường tròn ( đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB'\perp AB\\B'C\perp BC\end{matrix}\right.\) Mà \(\left\{{}\begin{matrix}HC\perp AB\\AH\perp BC\end{matrix}\right.\) ( do H là trực tâm của tam giác ABC) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB'//HC\\AH//B'C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) AB'CH là hình bình hành \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH//B'C\\AH=B'C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrowđpcm\)

Xét (O) có

ΔB'AB nội tiếp

BB' là đường kính

Do đó: ΔB'AB vuông tại A

Suy ra: B'A\(\perp\)BA

hay CH//A'B'

Xét (O) có

ΔB'CB nội tiếp

BB' là đường kính

Do đó: ΔB'CB vuông tại C

=>B'C\(\perp\)BC

hay B'C//AH

Xét tứ giác AHCB' có

AH//CB'

AB'//CH

Do đó:AHCB' là hình bình hành

Suy ra: \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}\)

Xét (O) có

ΔB'AB nội tiếp

BB' là đường kính

Do đó: ΔB'AB vuông tại A

Suy ra: B'A\(\perp\)BA

hay CH//A'B'

Xét (O) có

ΔB'CB nội tiếp

BB' là đường kính

Do đó: ΔB'CB vuông tại C

=>B'C\(\perp\)BC

hay B'C//AH

Xét tứ giác AHCB' có

AH//CB'

AB'//CH

Do đó:AHCB' là hình bình hành

Suy ra: \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}\)

Lời giải:

Vì $O$ là tâm ngoại tiếp nên \(OA=OC=OB=OB'\Rightarrow AB'CB\) là tứ giác nội tiếp.

Do đó, \(\angle ABB'=\angle ACB'\Leftrightarrow \angle ABO=\angle ACB'\)\((1)\)

Vì $AOC$ là tam giác cân tại $O$ nên:
\(\angle OAC=\frac{180^0-\angle AOC}{2}=\frac{180^0-2\angle ABC}{2}\) (tính chất của góc nội tiếp và góc ở tâm)

\(\Leftrightarrow \angle OAC=90^0-\angle ABC=\angle BAH\)

\(\Leftrightarrow \angle OAC+\angle HAO=\angle BAH+\angle HAO\Leftrightarrow \angle BAO=\angle HAC\)

\(\Leftrightarrow \angle ABO=\angle HAC(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \angle HAC=\angle ACB'\Rightarrow AH\parallel B'C\)

Xét tam giác $BAB'$ có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện ( \(OA=\frac{1}{2}BB'\) ) nên là tam giác vuông, do đó \(AB'\perp AB\)

Mà \(CH\perp AB\Rightarrow CH\parallel AB'\)

Tứ giác $AB'CH$ có các cặp cạnh đối song song nhau nên là hình bình hành, do đó \(B'C=AH\)

Từ đó ta thấy \(\overrightarrow {AH},\overrightarrow {B'C}\) là hai vecto cùng phương, cùng hướng và có độ dài bằng nhau nên bằng nhau.

Xét B thuộc đường tròn (O), B' đối xứng với B qua O => BB' là đường kính của (O)

=> AB' vuông góc AB. Mà CH vuông góc AB nên AB' // CH. Tương tự AH // B'C

Suy ra tứ giác AHCB' là hình bình hành => AH // B'C và AH = B'C => \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}\)(đpcm).

Gọi BE, CF, AN là đường cao của TAM GIÁC ABC

Vì BE//DC⇒BH//DC(1)

CF//BD⇒CD//BH(2)

Từ (1)và(2)⇒BHCD là hình bình hành

Xem lại đề