Cho tam giác ABC (A=90, AB<AC), trung tuyến AM. Vẽ tia Mx song song với AB cắt AC tại H trên tia Mx lấy điểm K sao cho MK=AB
1. cm: BM=AK
2.CM:M và K đối xứng qua AC
3.Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với AC cắt AM tại Q. CM:ACBQ là hình chữ nhật
4.Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để AKCQ là hình thang cân
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC . Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F . Chứng minh:
a) EF là đường trung bình của tam giác ABC
b) AM là đường trung trực của EF .
Bài 5: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm AM. Gọi BD cắt AC tại E. Gọi I là trung điểm EC. Chứng minh AE = EI = IC.
Bài 6: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K là trung điểm GB, GC. Chứng minh: DE // IK, DE = IK.
Bài 5:
Xét ΔEBC có
M là trung điểm của BC
I là trung điểm của EC
Do đó: MI là đường trung bình của ΔBEC
Suy ra: MI//DE
Xét ΔAMI có
D là trung điểm của AM
DE//MI
Do đó: E là trung điểm của AI
Suy ra: AE=EI
mà EI=IC
nên AE=EI=IC
Bài 4:
a: Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
ME//AC
Do đó: E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm củaBC
MF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Xét ΔABC có
E là trung điểm của AB
F là trung điểm của AC
Do đó: EF là đường trung bình của ΔBAC
b: Ta có: \(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)
\(AF=FC=\dfrac{AC}{2}\)
mà AB=AC
nên AE=EB=AF=FC
Xét ΔEBM và ΔFCM có
EB=FC
\(\widehat{B}=\widehat{C}\)
MB=MC
Do đó: ΔEBM=ΔFCM
Suy ra: ME=MF
Ta có: AE=AF
nên A nằm trên đường trung trực của EF(1)
Ta có: ME=MF
nên M nằm trên đường trung trực của EF(2)
từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF
Bài 6:
Xét ΔABC có
E là trung điểm của AB
D là trung điểm của AC
Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC
Suy ra: ED//BC và \(ED=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)
Xét ΔGBC có
I là trung điểm của GB
K là trung điểm của GC
Do đó: IK là đường trung bình của ΔGBC
Suy ra: IK//BC và \(IK=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra DE//IK và DE=IK
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC . Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F . Chứng minh:
a) EF là đường trung bình của tam giác ABC
b) AM là đường trung trực của EF .
Bài 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm AM. Gọi BD cắt AC tại E. Gọi I là trung điểm EC. Chứng minh AE = EI = IC.
Bài 3: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K là trung điểm GB, GC. Chứng minh: DE // IK, DE = IK.
Bài 1:
a: Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
ME//AC
Do đó: E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
E là trung điểm của AB
F là trung điểm của AC
Do đó: EF là đường trung bình của ΔBAC
b: Ta có: \(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)
\(AF=FC=\dfrac{AC}{2}\)
mà AB=AC
nên AE=AF=EB=FC
Xét ΔEBM và ΔFCM có
EB=FC
\(\widehat{B}=\widehat{C}\)
MB=MC
Do đó: ΔEBM=ΔFCM
Suy ra: ME=MF
Ta có: AE=AF
nên A nằm trên đường trung trực của FE(1)
Ta có: ME=MF
nên M nằm trên đường trung trực của FE(2)
từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF
Bài 2:
Xét ΔBEC có
M là trung điểm của BC
I là trung điểm của EC
Do đó: MI là đường trung bình của ΔBEC
Suy ra: MI//BE
hay MI//DE
Xét ΔAMI có
D là trung điểm của AM
DE//MI
Do đó: E là trung điểm của AI
Suy ra: AE=EI
mà EI=IC
nên AE=IE=IC
Bài 3:
Xét ΔACB có
E là trung điểm của AB
D là trung điểm của AC
Do đó: ED là đường trung bình của ΔBAC
Suy ra: ED//BC và \(ED=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)
Xét ΔGBC có
I là trung điểm của GB
K là trung điểm của GC
Do đó: IK là đường trung bình của ΔGBC
Suy ra: IK//BC và \(IK=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra DE//IK và DE=IK
Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của cạnh BC. Kẻ tia Mx song song
với AC cắt AB tại E, kẻ tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:
a) EF là đường trung bình của tam giác ABC.
b) AM là đường trung trực của EF.
Mình không biết vẽ hình trên đây bạn tự vẽ hình nhé
Xét tam giác BAC có: BM=CM(M là trung điểm của BC)
ME//AC(Mx//AC)
=>AE=BE(hay E là trung điểm của AB)
Xét tam giác CBA có: BM=CM(M là trung điểm của BC)
MF//AB(My//AB)
=>AF=CF(hay F là trung điểm của AC)
Xét tam giác ABC có: AE=BE
AF=CF
=>EF là đường trung bình của tam giác ABC
b, Xét tứ giác AEMF có: ME//AF(Mx//AC)
MF//AE(My//AB)
=>AEMF là hình bình hành
Ta có: AE=BE; AF=CF
mà AB=AC(tam giác ABC cân tại A)
=>AE=BE=AF=CF
Xét hình bình hành AEMF có:AF=AE
=>AEMF là hình thoi
=> AM vuông góc với EF và AM đi qua trung điểm của EF
=>AM là đường trung trực của EF
Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tií Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:
a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;
b) AM là đường trung trực của EF.
a) Mx đi qua trung điểm M của BC và song song với AC. Suy ra Mx đi qua trung điểm E của AB (theo Định lí 1).
Tương tự, ta được F cũng là trung điểm của AC. Khi đó EF trở thành đường trung bình của tam giác ABC;
b) Do ME và MF cũng là đường trung bình nên có ME = MF = AE = AF. Suy ra AM là đường trung trực của EF.
1A. Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tií Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh: a) EF là đường trung bình của tam giác ABC; b) AM là đường trung trực của EF.
Bài toán 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM,
qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại D. Qua H kẻ đường thẳng
song song với AC cắt AB tại E.
1. Chứng minh rằng : AH = DE.
2. Chứng minh rằng : AM DE.
3. ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác AEHD là hình vuông.
4. Cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính diện tích tứ giác AEMD.
Cm: a) Ta có: BA ⊥⊥AC (gt)
HD // AB (gt)
=> HD ⊥⊥AC => ˆHDA=900HDA^=900
Ta lại có: AC ⊥⊥AB (gt)
HE // AC (gt)
=> HE ⊥⊥AB => ˆHEA=900HEA^=900
Xét tứ giác AEHD có: ˆA=ˆAEH=ˆHDA=900A^=AEH^=HDA^=900
=> AEHD là HCN => AH = DE
b) Gọi O là giao điểm của AH và DE
Ta có: AEHD là HCN => OE = OH = OD = OA
=> t/giác OAD cân tại O => ˆOAD=ˆODAOAD^=ODA^ (1)
Xét t/giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến
-> AM = BM = MC = 1/2 BC
=> t/giác AMC cân tại M => ˆMAC=ˆCMAC^=C^
Ta có: ˆB+ˆC=900B^+C^=900 (phụ nhau)
ˆC+ˆHAC=900C^+HAC^=900 (phụ nhau)
=> ˆB=ˆHACB^=HAC^ hay ˆB=ˆOADB^=OAD^ (2)
Từ (1) và (2) => ˆODA=ˆBODA^=B^
Gọi I là giao điểm của MA và ED
Xét t/giác IAD có: ˆIAD+ˆIDA+ˆAID=1800IAD^+IDA^+AID^=1800 (tổng 3 góc của 1 t/giác)
=> ˆAID=1800−(IAD+ˆIDA)AID^=1800−(IAD+IDA^)
hay ˆAID=1800−(ˆB+ˆC)=1800−900=900AID^=1800−(B^+C^)=1800−900=900
=> AM⊥DEAM⊥DE(Đpcm)
c) (thiếu đề)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB bé thua AC ).Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC .Qua M ,vẽ đường thẳng song song cạnh AC cắt cạnh AB tại D và vẽ đường thẳng song song cạnh AB cắt cạnh AC tại E
a) chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật
b) biết AH =4,8cm,DE =5cm.Tính diện tích tam giác ABC
c) chứng minh HD vuông gốc với HE
a) Xét tứ giác ADME có
ME//AD(gt)
MD//AE(gt)
Do đó: ADME là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ADME có \(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0,E\in AC,D\in AB\))
nên ADME là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: ADME là hình chữ nhật(cmt)
nên ED=AM(Hai đường chéo trong hình chữ nhật ADME)
mà ED=5cm(gt)
nên AM=5cm
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)
nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
\(\Leftrightarrow BC=2\cdot AM=2\cdot5=10\left(cm\right)\)
Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)
nên \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{4.8\cdot10}{2}=24\left(cm^2\right)\)
c) Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(gt)
ME//AB(gt)
Do đó: E là trung điểm của AC(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(gt)
MD//AC(gt)
Do đó: D là trung điểm của AB(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH⊥BC tại H)
mà HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB(D là trung điểm của AB)
nên \(HD=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AD=\dfrac{AB}{2}\)(D là trung điểm của AB)
nên HD=AD
Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC tại H)
mà HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(E là trung điểm của AC)
nên \(HE=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AE=\dfrac{AC}{2}\)(E là trung điểm của AC)
nên HE=AE
Xét ΔEAD và ΔEHD có
EA=EH(cmt)
ED chung
AD=HD(cmt)
Do đó: ΔEAD=ΔEHD(c-c-c)
⇒\(\widehat{EAD}=\widehat{EHD}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), D∈AB, E∈AC)
nên \(\widehat{EHD}=90^0\)
hay HD⊥HE(đpcm)
Bài 1
cho tam giác ABC cân tại A, có M là trưng điểm của BC .kẻ tia MX // với Ac cắt AB tại E và tia MY song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh
A, AF là đường trung bình của Tam giác ABC
b, AM là đường trung trực của Ef
Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E, kẻ tia Myvsong song với AB cắt AC tại F. Chứng minh EF là đường trung bình của tam giác ABC
Bạn tự vẽ hình
Tam giác ABC có:
M là trung điểm của BC và ME // AC
=> ME là đường trung bình của t/g ABC => BE=EA (1)
cm tương tự, ta có: MF là đường trung bình của t.g ABC và EF=FC (2)
Từ (1),(2) => EF là đường trung bình của t/g ABC
Vậy EF là đường trung bình của t/g ABC
