ĐẶT x-1=a  , x+3=b   (a,b cùng dấu)

\(PT\Leftrightarrow ab+2a\sqrt{\frac{b}{a}}=8\)

\(\Leftrightarrow2a\sqrt{\frac{b}{a}}=8-ab\)

\(\Leftrightarrow4a^2\frac{b}{a}=64-16ab+a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2-20ab+64=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-10\right)^2-36=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-4\right)\left(ab-16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}ab=4\\ab=16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(x+3\right)=4\\\left(x-1\right)\left(x+3\right)=16\end{cases}}\)

Đến đây đơn giản rồi bn tự giải nhé

ĐK:....\(\frac{x+3}{x-1}\ge0\)

<=> \(\left(x-1\right)\left(x+3\right)+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+1=9\)

<=> \(\left(\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}+1\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=2\\\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=-4\left(loai\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+3\right)=4\)

Em tự làm tiếp nhé

mình cảm ơn mn ak

\(\Leftrightarrow2sin^3x+1-sin^2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow sin^2x\left(2sinx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\sinx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Bài này làm khá tắt chỗ 3 điểm cực trị, mình trình bày lại để bạn dễ hiểu nhé!

.......

Để y' = 0\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\f'\left(\left(x-1\right)^2+m\right)=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(x-1\right)^2+m=-1\\\left(x-1\right)^2+m=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(x-1\right)^2=-1-m\left(1\right)\\\left(x-1\right)^2=3-m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 

Ta có 2 trường hợp.

+) \(TH_1:\) (1) có nghiệm kép x = 1 hoặc vô nghiệm và (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1-m\le0\\3-m>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge-1\\m< 3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-1\le m< 3\)

+) \(TH_2:\) (2) có nghiệm kép x = 1 và (2) có một nghiệm phân biệt khác 1.

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1-m>0\\3-m\le0\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m\ge3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

\(\Rightarrow-1\le m< 3\Rightarrow S=\left\{-1;0;1;2\right\}\)

Do đó tổng các phần tử của S là \(-1+0+1+2=2\)

1) \(\sqrt{x^2-x}=x\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-x^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy: \(x=0\)

2) \(\sqrt{1-x^2}=x-1\) (ĐK: \(x\le1\))

\(\Leftrightarrow1-x^2=\left(x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow1-x^2=x^2-2x+1\)

\(\Leftrightarrow-x^2-x^2-2x=1-1\)

\(\Leftrightarrow-2x^2-2x=0\)

\(\Leftrightarrow-2x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-2x=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(tm\right)\\x=-1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{0;-1\right\}\)

1: =>x^2+x=x^2 và x>=0

=>x=0

2: =>1-x^2=x^2-2x+1 và x>=1

=>x^2-2x+1-1+x^2>=0 và x>=1

=>2x^2-2x=0 và x>=1

=>x=1

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=1+(3+m)=4+m\geq 0\Leftrightarrow m\geq -4$ (chứ không phải với mọi m như đề bạn nhé)!

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2\\ x_1x_2=-(m+3)\end{matrix}\right.\)

$x_1, x_2\neq 0\Leftrightarrow -(m+3)\neq 0\Leftrightarrow m\neq -3$

$\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=\frac{-8}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{x_1^2-x_2^2}{x_1x_2}=\frac{-8}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{-2(x_1-x_2)}{-(m+3)}=\frac{-8}{3}$
$\Leftrightarrow x_1-x_2=\frac{4}{3}(m+3)$

$\Rightarrow (x_1-x_2)^2=\frac{16}{9}(m+3)^2$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{16}{9}(m+3)^2$
$\Leftrightarrow 4+4(m+3)=\frac{16}{9}(m+3)^2$

$\Leftrightarrow m+3=3$ hoặc $m+3=\frac{-3}{4}$

$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=\frac{-15}{4}$ (đều thỏa mãn)

Bài 8:

a: Khi a=1 thì phương trình sẽ là \(\left(1-4\right)x-12x+7=0\)

=>-3x-12x+7=0

=>-15x+7=0

=>-15x=-7

hay x=7/15

b: Thay x=1 vào pt, ta được:

\(a^2-4-12+7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3\right)\left(a+3\right)=0\)

hay \(a\in\left\{3;-3\right\}\)

c: Pt suy ra là \(\left(a^2-16\right)x+7=0\)

Để phương trình đã cho luôn có một nghiệm duy nhất thì (a-4)(a+4)<>0

hay \(a\notin\left\{4;-4\right\}\)

\(1,\sqrt{5x^2-2x+2}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5x^2-2x+2}\right)^2=\left(x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5x^2-2x+2=x^2+2x+1\)

\(\Leftrightarrow5x^2-x^2-2x-2x=1-2\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\)

\(2,\sqrt{4x^2-x+1}-2x=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x^2-x+1}\right)^2=\left(3+2x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2-x+1=9+12x+4x^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4x^2-x-12x=9-1\)

\(\Leftrightarrow-13x=8\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{8}{13}\)

Vậy \(S=\left\{-\dfrac{8}{13}\right\}\)

1: =>x>=-1 và 5x^2-2x+2=x^2+2x+1

=>x>=-1 và 4x^2-4x+1=0

=>x=1/2

2: =>\(\sqrt{4x^2-x+1}=2x+3\)

=>x>=-3/2 và 4x^2-x+1=4x^2+12x+9

=>x>=-3/2 và -11x=8

=>x=-8/11(nhận)

tự giải được pen ta = 4 => PT luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

áp dụng Vi-Ét: \(x1+x1=2\left(m+1\right)\)\(x1x2=m^2+2m\)

gọi x1=a, x2=b để mình đnáh máy cho nhanh nhen:

\(a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2\)

\(=>\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=8\)

thay vi-ét bên trên vào là ok