a) Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HB.HC}{HC^2}=\dfrac{HA^2}{HC^2}=\left(\dfrac{HA}{HC}\right)^2\)

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BAC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AHC=\angle BAC=90\\\angle ACBchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHC\sim\Delta BAC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{c^2}{b^2}\)

b) tham khảo ở đây:https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-dabc-vuong-tai-a-duong-cao-ah-goi-e-f-lan-luot-la-cac-hinh-chieu-cua-h-tren-ab-va-ac-cmra-aeabaf.1150118751274

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(AB^2=BH.BC\)

\(AC^2=CH.CB\)

\(\Rightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{c^2}{b^2}\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(BH^2=BE.BA\)

\(CH^2=CF.CA\)

\(\Rightarrow\dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BE}{CF}.\dfrac{BA}{CA}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{c^4}{b^4}=\dfrac{BE}{CF}.\dfrac{c}{b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{c^3}{b^3}\)

a) + AH2 = BH.CH = 9.16 = 144 AH = 12cm

+ AB2 = BH. BC = 9.25 AB  = 15cm

+ AC2 =  CH.BC = 16.25 AC = 20cm  

b) Chứng minh được tứ giác ADHE là hình chữ nhật  

c) +HD.AB = HA.HB HD = HA.HB/AB= 12.9/15 = 7,2cm

+HE.AC = HA.HC HE = HA.HC /AC = 12.16/20 = 9,6cm

+ Chu vi ADHE:  (HD + HE ).2 = (7,2 + 9,6).2 = 33,6(cm)  

 + SADHE = HD.HE = 7,2. 9,6  =  69,12(cm2)  

a)Áp dụng HTL2 vào tam giác ABC cuông tại A, đường cao AH ta có:

AH²=BH.HC=9.16=144

<=>AH=√144=12((cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông BHA ta có:

BA²=AH²+BH²=12²+9²=225

<=>BA=√225=15(cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông CHA ta có:

CA²=AH²+CH²=12²+16²=20(cm)

Vậy AB=15cm,AC=20cm,AH=12cm

Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\)

\(S_{AEF}=\dfrac{1}{16}\cdot S_{ABC}\)

=>\(\dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot AF=\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\)

=>\(AE\cdot AF=\dfrac{1}{16}\cdot AB\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AH^2}{AB}\cdot\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{1}{16}\cdot AB\cdot AC\)

=>\(AH^4=\dfrac{1}{16}\cdot AB^2\cdot AC^2\)

=>\(AH^2=\dfrac{1}{4}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{4}\cdot AH\cdot BC\)

=>\(AH=\dfrac{1}{4}\cdot BC\)

Gọi M là trung điểm của BC

=>AH vuông góc HM tại H

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)=MB=MC

=>\(\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{1}{2}\) và ΔMAC cân tại M

Xét ΔAHM vuông tại H có

\(sinAMH=\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(\widehat{AMB}=30^0\)

=>\(\widehat{AMC}=150^0\)

ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MCA}=\dfrac{180^0-\widehat{AMC}}{2}=15^0\)

=>\(\widehat{ACB}=15^0\)

Tương tự, HS tự làm

a)Áp dụng HTL2 vào tam giác ABC cuông tại A, đường cao AH ta có:

AH²=BH.HC=9.16=144

<=>AH=√144=12((cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông BHA ta có:

BA²=AH²+BH²=12²+9²=225

<=>BA=√225=15(cm)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông CHA ta có:

CA²=AH²+CH²=12²+16²=20(cm)

Vậy AB=15cm,AC=20cm,AH=12cm