a: \(\text{Δ}ABC\sim\text{Δ}HBA;\text{Δ}ABC\sim\text{Δ}HCA\)

b: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=25\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{15\cdot20}{25}=12\left(cm\right)\)

\(BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{15^2}{25}=9\left(cm\right)\)

CH=BC-BH=25-9=16(cm)

Đề 1: 

a: Xét ΔABH vuông tại H có 

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

hay HB=18(cm)

Xét ΔBCA vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AH^2=HB\cdot HC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=50\left(cm\right)\\HC=32\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔACH vuông tại H có 

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

nên AC=40(cm)

b: Xét ΔAHC vuông tại H và ΔDHB vuông tại H có

\(\widehat{HAC}=\widehat{HDB}\)

Do đó: ΔAHC\(\sim\)ΔDHB

Suy ra: \(\dfrac{AC}{DB}=\dfrac{HC}{HB}\)

hay \(DB=\dfrac{32}{18}\cdot40=\dfrac{640}{9}\left(cm\right)\)

Áp dụng Pytago \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=25\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL: \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=9\left(cm\right)\\AH=\dfrac{15\cdot20}{25}=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Bài 1: 

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên CH=BC-BH=15-5,4=9,6(cm)

b) Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BC=1+3=4(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=1\cdot4=4\left(cm\right)\\AC^2=CH\cdot BC=3\cdot4=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

1:

BC=15+20=35cm

AD là phân gíac

=>AB/BD=AC/CD

=>AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

AB^2+AC^2=BC^2

=>25k^2=35^2

=>k=7

=>AB=21cm; AC=28cm

AH=21*28/35=16,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot21\cdot28}{21+28}\cdot cos45=12\sqrt{2}\left(cm\right)\)

2:

BC=căn 12^2+16^2=20cm

HB=AB^2/BC=12^2/20=7,2cm

HC=20-7,2=12,8cm

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AC^2=CH*CB

=>CH(CH+16)=15^2=225

=>CH^2+16CH-225=0

=>(CH+25)(CH-9)=0

=>CH=-25 hoặc CH=9cm

BC=CH+BH=16+9=25cm

AB=căn BH*BC=20(cm)

AH=căn CH*BH=căn 9*16=12(cm)

Ta có: \(HC\cdot BC=15\)

nên \(HC=\dfrac{15}{BC}\)

Ta có: HB+HC=BC(H nằm giữa B và C)

nên \(BC=2+\dfrac{15}{BC}\)

\(\Leftrightarrow BC^2=2BC+15\)

\(\Leftrightarrow BC^2-2BC-15=0\)

\(\Leftrightarrow\left(BC-5\right)\left(BC+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow BC=5\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow CH=5-2=3\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AH=\sqrt{HB\cdot HC}=\sqrt{6}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{BH\cdot BC}=\sqrt{2\cdot5}=\sqrt{10}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{CH\cdot BC}=\sqrt{15}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có sin C=AB/BC=3/5

Xét ΔAHC vuông tại H có sin C=AH/AC

=>15/AC=3/5

=>AC=25(cm)

AB/BC=3/5

=>AB/3=BC/5=k

=>AB=3k; BC=5k

BC^2=AB^2+AC^2

=>(5k)^2-(3k)^2=25^2

=>16k^2=625

=>k^2=625/16

=>k=25/4

=>BC=125/4(cm)