Lời giải:
Điểm H trong bài không đóng vai trò gì thì không nên đưa vào bài.

Vì $B,D$ đối xứng nhau qua $M$ nên $M$ là trung điểm $BD$

Tứ giác $ABCD$ có 2 đường chéo $AC, BD$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên $ABCD$ là hình bình hành.

Hình vẽ:

Xét ΔAHC có

I là trung điểm của AH

N là trung điểm của AC

DO đó: IN là đường trung bình của ΔAHC

Suy ra: \(IH=3cm\)

Bạn tự vẽ hình giúp mình nhé!

Xét tam giác AHC vuông tại H có:

HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

\(\Rightarrow HM=AM=MC=MN\)

\(\Rightarrow HN=AC\) (1)

Xét tam giác HMC và tam giác NMA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AM=MC\\\widehat{AMN}=\widehat{CMH}\left(đđ\right)\\HM=MN\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta HMC=\Delta NMA\)

\(\Rightarrow\widehat{MHC}=\widehat{MNA}\)

Mà hai góc trên nằm ở vị trí so le

\(\Rightarrow\)AN//HC(2)

Chứng minh tương tự ta được AH//NC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra, tứ giác AHCN là hình chữ nhật

Lời giải:

$M,N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow MN\parallel BC$ hay $MN\parallel HP$

$\Rightarrow MNPH$ là hình thang $(*)$

Mặt khác:
Tam giác vuông $ABH$ có $HM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $HM=\frac{AB}{2}=MB$ (bổ đề quen thuộc)

$\Rightarrow $MHB$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{MBH}$

Mà $\widehat{MBH}=\widehat{NPC}$ (hai góc đồng vị với $NP\parallel AB$)

$\Rightarrow \widehat{MHB}=\widehat{NPC}$

$\Rightarrow 180^0-\widehat{MHB}=180^0-\widehat{NPC}$

Hay $\widehat{MHP}=\widehat{NPH}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow $MNPH$ là hình thang cân (đpcm)

Hình vẽ: 

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MN//BC\) (tính chất đường trung bình).

\( \Rightarrow MN//HP\left( {H;P \in BC} \right)\)

Xét tứ giác \(MNPH\) có: \(MN//HP \Rightarrow \) tứ giác \(MNPH\) là hình thang.

- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB;P\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MP = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình) (1).

- Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có:

\(N\)là trung điểm của \(AC\) nên \(HN = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(MP = HN\).

Xét hình thang \(MNPH\) có: \(MP = HN\) (chứng minh trên).

Do đó, hình thang \(MNPH\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).