Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a: góc AIH=góc AKH=góc KAI=90 độ

=>AIHK là hình chữ nhật

=>AH=IK

b: ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên AI*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên AK*AC=AH^2

=>AI*AB=AK*AC

\(AH=\sqrt{21}\left(cm\right)\)

ko biết

Xét \(\widehat{ABC}\)vuông tại A , theo định lí pitago ta có:

BC²=AB²+AC²

225= 144 +  AC² 

AC² = 225-144

        = 81

AC=9 cm

* Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{144}+\frac{1}{225}\)

\(h^2=\frac{144.225}{144+225}\approx87\)

* CH = AC/BC= 9 /15=3/5

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay BC=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=3.6\left(cm\right)\\CH=6.4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

                                                 Giải

- Áp dụng 1 số hệ thức về cạnh và đường cao trong Δ vuông ABC ta có :

          \(AH^2=BH.CH\Rightarrow CH=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{12^2}{9}=16\left(cm\right)\)

               \(\Rightarrow BC=16+9=25\left(cm\right)\)

- Áp dụng định lý Pytago trong  \(\Delta AHC\perp H\) ta có :

          \(AC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

     \(\Rightarrow AB=\sqrt{25^2-20^2}=15\left(cm\right)\)

- Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong Δ vuông \(ABC\) ta có :

             + \(\tan C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\)

           \(\Rightarrow\) Góc \(C\approx37\) độ

           \(\Rightarrow\) Góc CAH = Góc B = 53 độ

           \(\Rightarrow\) Góc BAH = 37 độ

Hình bạn tự vẽ nha

vì HB=HC=x nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

nên BH=HC=\(\dfrac{1}{2}\)AH=\(\dfrac{1}{2}\)5=2,5

Ta có AB=AC=y nên BC.AH=AB.AC (htl)

\(\Leftrightarrow\)(BH+HC).AH=AB.AC\(\Leftrightarrow\)(2,5+2,5).5=y.y\(\Leftrightarrow\)25=2y

\(\Rightarrow\)y=\(\dfrac{25}{2}=12,5 \)

\(1,HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{256}{9}\\ \Rightarrow AB=\sqrt{BH\cdot BC}=\sqrt{\left(\dfrac{256}{9}+9\right)9}=\sqrt{337}\\ 2,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\\ \Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=6,4\left(cm\right)\\ 3,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=9\\ \Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=5,4\\ 4,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{9\left(6+9\right)}=3\sqrt{15}\\ 5,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4\sqrt{7}\left(cm\right)\\ \Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=3\sqrt{7}\left(cm\right)\\ 6,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{12\left(12+8\right)}=4\sqrt{15}\left(cm\right)\)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thôi: 
AB*AC = AH*BC = 12*25 = 300 
AB^2 + AC^2 = BC^2 = 25^2 = 625 
giải hệ trên ta được : AB = 15, AC = 20 
AB^2 = BH*BC=> BH = AB^2/BC = 9 
AH^2 = BH*CH=> CH = AH^2/BH = 12^2/9 = 16 
NGOÀI RA HỆ PT TRÊN CÒN 1 NGHIỆM NỮA LÀ AB=20,AC=15