a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{HB}{HC}\)(đpcm)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(BD\cdot BA=BH^2\)

\(\Leftrightarrow BD=\dfrac{HB^2}{AB}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(CE\cdot CA=CH^2\)

\(\Leftrightarrow EC=\dfrac{HC^2}{AC}\)

Ta có: \(\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}:\dfrac{HC^2}{AC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{HC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{HB}{HC}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^4\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)(đpcm)

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao => AB² = BH.BC; AC² = HC.BC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Do đó: \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB.BC}{HC.BC}=\frac{HB}{HC}\)

b) Từ \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB}{HC}\)=> \(\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{HB^2}{HC^2}\)

Xét tam giác AHB vuông tại H có HD là đường cao => BH² = BD.AB ( Hệ thức lượng)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HE là đường cao => HC² = EC.AC

Do đó: \(\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{BD.AB}{EC.AC}\)=> \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BD}{EC}\)

Ta có: góc HEA = góc EAD = góc ADH (=90⁰)

=> tứ giác AEHD là hình chữ nhật

=> ED = AH.

Gọi T là giao điểm của ED và AH, ta có: ET = TH = TD = AT

Trong tam giác vuông BEH có EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BH => EM = MH (1)

Xét tam giác MET và tam giác MHT có:

ME = MH(từ 1); MT chung; ET = TH (chứng minh trên)

=> tam giác MET = tam giác MHT (c-c-c)

=> góc MET= góc MHT =90⁰ (2 góc tương ứng) (2)

Tường tự ta có tam giác HTN = tam giác DTN (c-c-c)

=> góc THN = góc TDN = 90⁰ (2 góc tương ứng) (3)

Từ (2)(3) => EM song song với DN

(vì cùng vuông góc với DE " từ vuông góc đến song song")

=> tứ giác EMND là hình thang và có góc MED = góc EDN (=90⁰)

=> hình thang EMND là hình thang vuông