Xét tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \\ \Rightarrow 50^\circ  + 60^\circ  + \widehat C = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat C = 70^\circ \end{array}\)

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

\(\begin{array}{l}\widehat B = \widehat N = 60^\circ \\\widehat C = \widehat P = 70^\circ \end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta MNP\) (g-g).

Trên cạnh BA của \(\Delta\)ABC lấy điểm G sao cho BG = BC. Ta có:

^CFB = 180⁰ - ^BCF - ^CBF = 180⁰ - ^BCE - ^CBE = 70⁰ => ^CFB = ^BCF (=70⁰)

=> \(\Delta\)CBF cân tại B => BF = BC = BG => \(\Delta\)GBF cân tại B => ^BGF = (180⁰ - ^GBF)/2 = 80⁰

=> ^FGA = 100⁰. Gọi GF cắt AC tại L. Trên đoạn GL lấy điểm F' sao cho ^CAF' = 10⁰

Qua F' dựng đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt AC tại H

Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, dựng \(\Delta\)GAK đều

Xét \(\Delta\)ALG: ^LGA = 100⁰ (cmt), ^LAG = 40⁰ => \(\Delta\)ALG cân tại G => \(\Delta\)LF'H cân tại F' (F'H // AG)

Xét \(\Delta\)CLG: ^GCL = ^ACB - ^BCG = 20⁰, ^CLG = 180⁰ - ^GLA = 140⁰ => \(\Delta\)CLG cân tại L

Có ^GAF' = ^BAC - ^CAF' = 30⁰ = ^GAK/2 => ^GAF' = ^KAF'. Từ đây dễ có \(\Delta\)F'GA = \(\Delta\)F'KA (c.g.c)
=> F'G = F'K => \(\Delta\)GF'K cân tại F'. Do ^F'GK = ^F'GA - ^KGA = 40⁰ nên ^GF'K = 100⁰

Suy ra ^GF'K = ^HF'L (= ^AGL = 100⁰) => ^GF'H = ^KF'L (= 100⁰ - ^KF'H)

Kết hợp với F'H = F'L; F'G = F'K (cmt) suy ra \(\Delta\)HF'G = \(\Delta\)LF'K (c.g.c) => ^F'LK = ^F'HG

Dễ dàng tính được ^F'LK = ^GLK = (180⁰ - 40⁰)/2 = 70⁰ => ^F'HG = 70⁰ => ^HGA = 70⁰ (Vì F'H // AG)

Ta thấy \(\Delta\)AGH có ^GAH = 40⁰ , ^HGA = 70⁰ => \(\Delta\)AGH cân tại A

Từ đó AH = AG = GL = CL (Vì các tam giác AGL, CLG cân). Dễ dàng chứng minh:

\(\Delta\)CLF' = \(\Delta\)AHF' (c.g.c) (F'L = F'H, ^F'LC = ^F'HA, CL = AH) => ^LCF' = ^HAF' = ^CAF' = 10⁰

=> ^BCF' = 70⁰ = ^BCE => CF' trùng CE. Ban đầu ta nhận thấy CE cắt GL tại F

Mà CF' trùng CE, F' thuộc GL nên F' trùng F. Tức là ^CAF = ^CAF' = 10⁰ => ^CAF + ACB = 90⁰

Vậy thì AF vuông góc với BC (đpcm).

\(\widehat{B}+\widehat{C}=140^0\)

\(\Leftrightarrow4\cdot\widehat{C}=140^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{C}=35^0\)

hay \(\widehat{B}=105^0\)

Vậy:  ΔABC tù

Vì  ΔABC ∽ ΔDEF \( \Rightarrow \widehat A = \widehat D{,^{}}\widehat B = \widehat E{,^{}}\widehat C = \widehat F\)

Mà \(\widehat A = {60^o} \Rightarrow \widehat D = {60^o}\)

\(\widehat E = {80^o} \Rightarrow \widehat B = {80^o}\)

Có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\)

\( \Rightarrow \widehat C = \widehat F = {180^o} - {60^o} - {80^o} = {40^o}\)

Xét tam giác vuông ABC và tam giác vuông ABD có:

=> tam giác vuông ABC = tam giác vuông ABD ( 2 cạnh góc vuông )

=> góc ACB = góc ADB = 60^o (2 góc tương ứng) và góc ABC = góc ABD (2 góc tương ứng)

Mặt khác tam giác ABC có: \(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\) (tổng 3 góc trong tam giác)

\(\Leftrightarrow90^o+\widehat{ABC}+60^o=180^o\Leftrightarrow\widehat{ABC}=30^o=\widehat{ABD}\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=60^o\)

Tam giác BDC có số đo 3 góc đều bằng 60^o=> đpcm

hình bạn tự vẽ nha 

cái này dễ 

Xét tam giác vuông DAB và tam giác vuông CAB có:

AD=AC (gt)

AB : cạnh chung 

Do đó: tam giác DAB= tam giác CAB (cgv-cgv)

Suy ra: góc D= góc C= 60 độ 

Vậy: tam giác BDC đều ( do có 2 góc bằng 60 độ)

Kẻ BH ⊥ AC tại H.
Xét tam giác ABH có góc BHA = 90độ (cách kẻ)
=> góc ABH + góc BAH = 90độ (phụ nhau) => góc ABH = 90độ - góc BAH = 90độ - 60độ = 30độ => góc ABH = 30độ
Xét tam giác ABH có góc BHA = 90độ và góc ABH = 30độ
=> Theo bổ đề trên ta có: AH = AB/2 => 2AH = AB (1)
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
AB² = BH² + AH²
=> BH² = AB² - AH² (2)
Xét tam giác BHC có góc BHC = 90độ (cách kẻ)
=> Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
BC² = BH² + HC² = BH² + (AC - AH)² = BH² + AC² - 2AH.AC + AH² (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta có:
BC² = (AB² - AH²) + AC² - AB.AC + AH²
<=> BC² = AB² - AH² + AC² - AB.AC + AH
<=> BC² = AB² + AC² - AB.AC

chúc bạn học tốt

65^o

góc b = 65 độ 

65 độ