Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng \(1\) để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp như hình vẽ. Để thể tích khối chóp lớn nhất thì cạnh đáy \(x\) của hình chóp bằng: |
Gọi \(O\) là tâm hình vuông, \(M\) là giao điểm của đường chéo hình vuông lớn (xem hình vẽ) với cạnh hình vuông nhỏ vuong góc với nó. Ta có
\(BM=BO-MO=\dfrac{1}{2}AB-MO=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{x}{2}.\)
Hình chóp có chiều cao \(h=\sqrt{BM^2-OM^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{x}{2}\right)^2-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1-x\sqrt{2}}{2}}\) và có thể tích \(V=\dfrac{1}{3}x^2h=\dfrac{1}{3}x^2\sqrt{\dfrac{1-x\sqrt{2}}{2}}\)\(=\dfrac{\sqrt{x^4-x^5\sqrt{2}}}{3\sqrt{2}}\)
Khảo sát hàm \(f\left(x\right)=x^4-x^5\sqrt{2},\left(x\in\left(0;\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)\), ta thấy \(f\left(x\right)\)sẽ lớn nhất khi \(x=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}\)