Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là \(6\sqrt{3}cm^3.\) . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
Cạnh đáy bằng \(2\sqrt{6}\) cm và cạnh bên bằng \(1\)cm Cạnh đáy bằng \(2\sqrt{3}\) cm và cạnh bên bằng \(2\)cm Cạnh đáy bằng \(2\sqrt{2}\) cm và cạnh bên bằng \(3\) cm Cạnh đáy bằng \(4\sqrt{3}\) cm và cạnh bên bằng \(0,5\) cm Hướng dẫn giải:
Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là \(ABC.A'B'C'\) có các kích thước \(AB=a;AA'=h\) (đơn vị đo là cm). Như vậy lăng trụ có diện tích đáy là \(S_1=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) và chiều cao \(h\) nên có thể tích bằng \(V=\dfrac{ha^2\sqrt{3}}{4}\). Theo giả thiết thể tích này bằng \(6\sqrt{3}\) cm,vì vậy \(6\sqrt{3}=\dfrac{ha^2\sqrt{3}}{4}\)\(\Rightarrow h=\dfrac{24}{a^2}.\) Muốn tốn ít vạt liệu nhất thì diện tích toàn phần khối lăng trụ phải nhỏ nhất. Lăng trụ có diện tích đáy \(S_1=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) và diện tích một mặt bên là \(S_2=ah=\dfrac{24}{a}\).
Diện tích toàn phần là \(S=2S_1+3S_2=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}+\dfrac{72}{a}\)\(=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}+\dfrac{36}{a}+\dfrac{36}{a}\)\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}.\dfrac{36}{a}.\dfrac{36}{a}}=3\sqrt[3]{8.27.3\sqrt{3}}=3.2.3\sqrt{3}=18\sqrt{3}.\) Diện tích toàn phần nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{36}{a}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\) và \(h=\dfrac{24}{a^2}=\dfrac{24}{\left(2\sqrt{3}\right)^2}=2.\) Đáp số: Cạnh đáy bằng \(2\sqrt{3}\) cm và cạnh bên bằng \(2\)cm.