Câu 44 Mã đề 103 Thi THPTQG2017
Xét khối chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác vuông cân tại 𝐴, 𝑆𝐴 vuông góc với đáy, khoảng cách từ 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) bằng 3. Gọi 𝛼 là góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶), tính cos𝛼 khi thể tích khối chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶 nhỏ nhất.
\(\frac{1}{3}\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) Hướng dẫn giải:Gọi M là trung điểm BC thì AM là trung tuyến, đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông cân ABC. Kẻ AH vuông góc với SM thì AH vuông góc với mặt phẳng (SBC), do đó AH là khoảng cách từ A tới mp(SBC), theo giả thiết khoảng cách này bằng \(3\), vậy tam giác vuông SAM có đường cao thuộc cạnh huyền \(AH=3.\) Thấy ngay góc \(\widehat{SMA}\) chính là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC), theo giả thiết, góc này bằng \(\alpha\), vậy \(\widehat{SMA}=\alpha.\) Trong tam giác vuông SMA đã biết đường cao \(AH=3,\)góc \(\widehat{SMA}=\alpha,\) từ đó tính được các yếu tố còn lại: \(AM=\frac{AH}{\sin\alpha}=\frac{3}{\sin\alpha};SA=AM\tan\alpha=\frac{3}{\cos\alpha}.\)
Tam giác vuông cân \(ABC\) có trung tuyến thuộc cạnh huyền \(BC\) là \(AM=\frac{3}{\sin\alpha}\) suy ra \(BC=2AM=\frac{6}{\sin\alpha}.\) Từ đó khối chóp đã cho có thể tích
\(V=\frac{1}{6}AS.AB.AC=\frac{1}{6}.\frac{3}{\cos\alpha}.\left(\frac{6}{\sin\alpha}\right)^2=\frac{18}{\cos\alpha\sin^2\alpha}\Rightarrow V^2=\frac{18^2}{\cos^2\alpha.\sin^4\alpha}=\frac{2.18^2}{2\cos^2\alpha\sin^2\alpha\sin^2\alpha}\ge\frac{2.18^2}{\left(\frac{2\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\sin^2\alpha}{3}\right)^3}=3^7\)
\(\Rightarrow V\ge27\sqrt{3}\). Thể tích nhỏ nhất khi \(2\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\Leftrightarrow3\cos^2\alpha=1\Leftrightarrow\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\)