Giả sử a là một số thực khác 0 đã cho. Hãy tìm tất cả các giá trị của tham số n để phương trình \(\dfrac{an}{a-x}+\dfrac{\left(a+n\right)\left(anx+nx^2+x^3\right)}{x^3+nx^2-a^2x-a^2n}=\dfrac{ax}{n+x}+\dfrac{nx^2}{x^2-a^2}\) vô nghiệm.
\(n=0\).\(n=a\).\(n=0;n=\pm a\).\(n=-a\).Hướng dẫn giải:Ta có : \(x^2\left(x+n\right)-a^2\left(x+n\right)=\left(x+n\right)\left(x^2-a^2\right)\) nên vế trái phương trình đã cho là \(-\dfrac{an}{x-a}+\dfrac{\left(a+n\right)\left(an+x^2\left(n+x\right)\right)}{\left(x+n\right)\left(x^2-a^2\right)}\).
Với điều kiện \(\left(x+n\right)\left(x^2-a^2\right)\ne0\) (*), nhân hai vế phương trình với \(\left(x+n\right)\left(x^2-a^2\right)\) ta được phương trình tương đương:
\(-an\left(x+n\right)\left(x+a\right)+\left(a+n\right)\left(anx+nx^2+x^3\right)=ax\left(x^2-a^2\right)+nx^2\left(n+x\right)\)
Khai triển và rút gọn ta được: Vế trái = \(n^2x^2+ax^3+nx^3-a^2n^2\), Vế phải \(=ax^3-a^3x+n^2x^2+nx^3\), do đó phương trình đã cho tương đương với phương trình \(-a^3x=-a^2n^2\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{n^2}{a}\).
Phương trình đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi nghiệm này không thỏa mãn điều kiện (*), tức là
\(\left(\dfrac{n^2}{a}+n\right)\left(\dfrac{n^4}{a^2}-a^2\right)=0\Leftrightarrow n\left(n+a\right)\left(n^4-a^4\right)=0\) \(\Leftrightarrow n=0;n=\pm a\).
Đáp số: \(n=0;n=\pm a\)