Cho hàm số \(y=x.e^{-x}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng ?
\(\left(1-x\right)y'=x.y\) \(x.y'=\left(1+x\right)y\) \(x.y'=\left(1-x\right)y\) \(\left(1+x\right)y'=\left(x-1\right)y\) Hướng dẫn giải:- Viết lại bốn khẳng định đã nêu dưới dạng sau:
(1) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{x}{1-x}\) ; (2) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1+x}{x}\) ; (3) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1-x}{x}\) ; (4) \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{x-1}{1+x}\)
- Từ giả thiết \(y=x.e^{-x}\) suy ra \(\ln y=\ln x-x\). Lấy đạo hàm theo x hai vế ta được \(\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}\).
- Vậy khẳng định đúng ứng với (3), tức là \(xy'=\left(1-x\right)y\).
Đáp số \(xy'=\left(1-x\right)y\)
