Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(x^4-2\left(m+1\right)x^2+2m+1=0\) có 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng.
\(m=4\) hay \(m=-\dfrac{4}{9}\).\(m=\dfrac{4}{9}\) hay \(m=-4\).\(m=2\) hay \(m=-\dfrac{8}{9}\).\(m=\dfrac{8}{9}\) hay \(m=-2\).Hướng dẫn giải:Phương trình \(x^4-2\left(m+1\right)x^2+2m+1=0\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-2m-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=1\\x^2=2m+1\end{matrix}\right.\) . Phương trình sẽ có 4 nghiệm khi và chỉ khi \(2m+1\ge0\). Khi đó các nghiệm của phương trình viết theo thứ tự tăng là
\(-\sqrt{2m+1};-1;1;\sqrt{2m+1}\) hoặc \(-1;-\sqrt{2m+1};\sqrt{2m+1};1\)
Vì vậy để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng phải có
- hoặc \(\sqrt{2m+1}-1=1-\left(-1\right)\Leftrightarrow\sqrt{2m+1}=3\Leftrightarrow m=4\).
- hoặc \(1-\sqrt{2m+1}=\sqrt{2m+1}-\left(-\sqrt{2m+1}\right)\Leftrightarrow\sqrt{2m+1}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow m=-\dfrac{4}{9}\).
Đáp số: \(m=4;m=-\dfrac{4}{9}\).