Cho tam giác ABC, có AB=AC. Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB(D thuộc AC, E thuộc AB). Gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:
a/ BD=CE
b/ tam giác OEB=tam giác ODC
c/ AO là tia phân giác của góc BAC và AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC
Các bạn giúp mình nhanh nha. Mình cần gấp!
a) Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABD\) và \(ACE\) có:
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\left(gt\right)\)
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(\widehat{A}\) chung
=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\) (cạnh huyền - góc nhọn).
=> \(BD=CE\) (2 cạnh tương ứng).
b) Theo câu a) ta có \(\Delta ABD=\Delta ACE.\)
=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (2 góc tương ứng).
Xét \(\Delta ABC\) có:
\(AB=AC\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABC\) cân tại A.
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân).
Hay \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(BEC\) và \(CDB\) có:
\(\widehat{BEC}=\widehat{CDB}=90^0\)
\(BD=CE\left(cmt\right)\)
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta BEC=\Delta CDB\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
=> \(BE=CD\) (2 cạnh tương ứng).
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(OEB\) và \(ODC\) có:
\(\widehat{BEO}=\widehat{CDO}=90^0\)
\(EB=DC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta OEB=\Delta ODC\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
c) Theo câu b) ta có \(\Delta OEB=\Delta ODC.\)
=> \(OB=OC\) (2 cạnh tương ứng).
Xét 2 \(\Delta\) \(AOB\) và \(AOC\) có:
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(OB=OC\left(cmt\right)\)
Cạnh AO chung
=> \(\Delta AOB=\Delta AOC\left(c-c-c\right).\)
=> \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\) (2 góc tương ứng).
=> \(AO\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}.\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(cmt\right)\)
Có \(AO\) là đường phân giác (cmt).
=> \(AO\) đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta ABC.\)
=> \(AO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
). Kẻ BD vuông góc AC, CE vuông góc AB (D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB).
