Cho hàm số y=mx-2m-1 (1) ( m là hàm số)
1. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O (O là gốc tọa độ)
2. tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt parabol (P):y=x\(^2\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=8m-13\)
Để đồ thị hàm số cắt 2 trục tại 2 điểm phân biệt
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\-2m-1\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó tọa độ A: \(y=0\Rightarrow mx-2m-1=0\Rightarrow x=\frac{2m+1}{m}\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{2m+1}{m};0\right)\Rightarrow OA=\left|\frac{2m+1}{m}\right|\)
Tọa độ B: \(x=0\Rightarrow y=-2m-1\Rightarrow B\left(0;-2m-1\right)\)
\(\Rightarrow OB=\left|-2m-1\right|=\left|2m+1\right|\)
Tam giác cân \(\Rightarrow OA=OB\Rightarrow\left|\frac{2m+1}{m}\right|=\left|2m+1\right|\Rightarrow\left|m\right|=1\)
\(\Rightarrow m=\pm1\)
Hoặc nếu nắm vững lý thuyết thì bạn sử dụng hệ số góc cũng được, làm như sau:
Do tam giác OAB vuông cân tại O \(\Rightarrow\) AB tạo với trục Ox một góc \(\alpha=45^0\) hoặc \(\alpha=135^0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=tan45^0=1\\m=tan135^0=-1\end{matrix}\right.\)
Ngắn gọn đơn giản
b/ Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2=mx-2m-1\Rightarrow x^2-mx+2m+1=0\)
\(\Delta=m^2-4\left(2m+1\right)=m^2-8m-4>0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4+2\sqrt{5}\\m< 4-2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Khi đó theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=8m-13\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8m-13\)
\(\Leftrightarrow m^2-2\left(2m+1\right)=8m-13\)
\(\Leftrightarrow m^2-12m+11=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(l\right)\\m=11\end{matrix}\right.\)
