Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh : BC = DE.
b) Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.
c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.
d) Chứng minh : AM = DE/2.
a)Xét Δ ABC và Δ AED, ta có :
\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=90^o\) (đối đỉnh)
AB = AD
AC = AD
Do đó \( Δ ABC\) = \(Δ AED\) (hai cạnh góc vuông)
Vậy BC = DE(hai cạnh tương ứng)
b)
Xét \(Δ ABD\), ta có :
\(\widehat{BAC}=90^0\) (Δ ABC vuông tại A)
=> AD 
=> \(\widehat{BAD}=90^0\)
=> Δ ABD vuông tại A.
mà : AB = AD
=> \(Δ ABD \)vuông cân tại A.
=>\(\widehat{BDC}=45^0\)
cmtt : \(\widehat{BCE}=45^0\)
=> \(\widehat{BDC}=\widehat{BCE}=45^0\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
=> BD // CE
c)
Xét \(Δ MNC\), ta có :
NK
MH
NK cắt MH tại A.
=> A là trực tâm. = > CA là đường cao thứ 3.
=> MN
mà : AB
Do đó MN // AB.
d)
Xét Δ AMC, ta có :
\(\widehat{MAE}= \widehat{BAH}\) (đối đỉnh)
\(\widehat{MEA}= \widehat{BCA}\) (\(Δ ABC = Δ AED\))
=>\(\widehat{MAE}=\widehat{MEA}\) (cùng phụ góc ABC)
=> Δ AMC cân tại M
=> AM = ME (1)
Xét \(Δ AMI\) và \(Δ DMI\), ta có :
\(\widehat{AIM }= \widehat{DIM}=90^0\) (MN
IM cạnh chung.
mặt khác : \(\widehat{IMA }= \widehat{MAE}\) (so le trong)
\(\widehat{DMI }= \widehat{MEA}\) (đồng vị)
mà : \(\widehat{MAE}=\widehat{MEA}\) (cmt)
=> \(\widehat{IMA }= \widehat{IMD}\)
=>\( Δ AMI = Δ DMI\) (cgv-gn)
=> MA = MD (2)
từ (1) và (2), suy ta : MA = ME = MD
ta lại có : ME = MD = DE/2 (D, M, E thẳng hàng)
=>MA = DE/2
