Question

Cho biểu thức M=\(\frac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}\)

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tìm giá trị của x để biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

\(a.M=\dfrac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\dfrac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}=\dfrac{x\sqrt{x}-3-2x+12\sqrt{x}-18-x-4\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{x\sqrt{x}-3x+8\sqrt{x}-24}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}\) ( x # 9 ; x ≥ 0 ) \(b.M=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1+9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :

\(\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\) ≥ \(2\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right).\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}}=2.3=6\)

⇔ \(\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2\text{≥ }6-2=4\)

⇒ \(M_{Min}=4."="\text{⇔}x=4\left(TM\right).\)