Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a
a) CMR : BD vuông góc (SAC), AC vuông góc (SBD)
b) tính cosin của góc giữa cạnh bên với cạnh đáy
c) tính tan góc giữa các mặt bên với mặt phẳng đáy
d) tính khoảng cách từ o đến (SCD)
e) tính khoảng cách từ A đến (SCD)
f) tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD
Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp BD\) ; \(SO\perp AC\)
Mà \(BD\perp AC\) (2 đường chéo hv) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\) ; \(AC\perp\left(SBD\right)\)
b/ \(OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.AB\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AO\) là hình chiếu của SA lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SAO}\) là góc giữa cạnh bên và mặt đáy
\(cos\widehat{SAO}=\frac{AO}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)
c/ Gọi M là trung điểm CD \(\Rightarrow OM\perp CD\Rightarrow CD\perp\left(SOM\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SMO}\) là góc giữa mặt bên và mặt đáy
\(OM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}\) ; \(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\)
\(tan\widehat{SMO}=\frac{SO}{OM}=\sqrt{14}\)
d/ Từ O hạ OH vuông góc SM \(\Rightarrow OH\perp\left(SCD\right)\)
\(\Rightarrow OH=d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)
\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OM^2}\Rightarrow OH=\frac{SO.OM}{\sqrt{SO^2+OM^2}}=\frac{a\sqrt{210}}{30}\)
e/ \(AO\) cắt (SCD) tại C, mà \(AC=2OC\)
\(\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{210}}{15}\)
f/ \(AB//CD\Rightarrow AB//\left(SCD\right)\)
\(\Rightarrow d\left(AB;SD\right)=d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{210}}{15}\)
