m.n giải giúp mình vs ạ
a) \(6^x-2^x=32\)
b) \(5^{7^x}=7^{5^x}\)
c) \(\log_x\left(x+1\right)=\log_{1,5}\)
d) \(3^x+3^{-x}=\sqrt[2]{8-x^2}\)
e)\(x^{\log_2\left(9\right)}=x^2\cdot3^{\log_2x}-x^{\log_23}_{ }\)
Hỏi đáp
m.n giải giúp mình vs ạ
a) \(6^x-2^x=32\)
b) \(5^{7^x}=7^{5^x}\)
c) \(\log_x\left(x+1\right)=\log_{1,5}\)
d) \(3^x+3^{-x}=\sqrt[2]{8-x^2}\)
e)\(x^{\log_2\left(9\right)}=x^2\cdot3^{\log_2x}-x^{\log_23}_{ }\)
Lời giải:
a) Vì \(6^x-2^x>0\Rightarrow x>0\)
Xét \(y=6^x-2^x-32\) có \(y'=\ln 6.6^x-\ln 2.2^x>0\forall x>0\) nên hàm $y$ đồng biến trên \(x\in(0,+\infty)\).
Khi đó phương trình \(6^x-2^x=32\) có nghiệm duy nhất $x=2$
b) Có \(5^{7^x}=7^{5^x}\Leftrightarrow \log(5^{7^x})=\log (7^{5^x})\)
\(\Leftrightarrow 7^x\log 5=5^x\log 7=7^{x\frac{\log 5}{\log 7}}\log 7\)
\(\Leftrightarrow 7^{x(1-\frac{\log 5}{\log 7})}=\frac{\log 7}{\log 5}=10^{x\log 7(1-\frac{\log 5}{\log 7})}=10^{x\log(\frac{7}{5})}\)
\(\Leftrightarrow x\log\frac{7}{5}=\log\left ( \frac{\log 7}{\log 5} \right )\)\(\Rightarrow x=\frac{\log\left ( \frac{\log 7}{\log 5} \right )}{\log\frac{7}{5}}\)
d) ĐKXĐ:...........
\(3^x+\frac{1}{3^x}=\sqrt{8-x^2}\Leftrightarrow 9^x+\frac{1}{9^x}+2=8-x^2\)
\(\Leftrightarrow 9^x+\frac{1}{9^x}+x^2=6\)
Giả sử \(x\geq 0\) . Xét hàm \(y=9^x+\frac{1}{9^x}+x^2\) có \(y'=9^x\ln 9-\frac{\ln 9}{9^x}+2x\geq 0\) nên hàm đồng biến trên \(x\in [0,+\infty)\)
Do đó PT \(9^x+\frac{1}{9^x}+x^2=6\) với $x\geq 0$ có nghiệm duy nhất \(x\approx 0,753897\)
---------------------------------------------------------------------------------
Vì hàm \(y\) là hàm chẵn nên $-x$ cũng là nghiệm, do đó tổng kết lại PT có nghiệm là \(x\approx \pm 0,753897\)
e) ĐK: $x>0$
\(\text{PT}\Leftrightarrow x^{\log_29}+x^{\log_23}=x^2.3^{\log_2x}\)
\(\Leftrightarrow x^{2\log_23}+x^{log_23}=x^2.x^{log_23}\Leftrightarrow x^{log_23}(x^{\log_23}+1-x^2)=0\)
\(\Leftrightarrow x^{\log_23}+1-x^2=0\) (do \(x>0\))
Dễ thấy \(x^2>x^{\log_23}\Rightarrow x>1\)
Xét hàm \(y=x^2-x^{\log_23}\Rightarrow y'=2x-\log_23x^{\log_23-1}>0\forall x>1\) nên hàm $y$ là hàm đồng biến
Do đó PT có nghiệm duy nhất $x=2$
c) Có lẽ bạn type thiếu đề
mn ơi dúp hạnh với::
- xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình aln2x + blnx + 5=0. có 2 ngiệm phân biệt là x1, x2 và phương trình 5log2x + blogx + a=0 có 2 nghiệm phân biệt x3,x4 thõa mãn x1x2> x3x4. tìm giá trik nhỏ nhất của Smin của S=2a+3b
A. 30 B. 25 C.33 D.17
Bạn đặt t = lnx or logx
mình sẽ làm đặt logx cho b bạn tự làm lại cái kia cho quen
t= logx ---> x=10t ---> 5log2x+blogx+a=0 sẽ là 5t2+bt+a=0
lnx=logx/loge ---> pt là (a/log2e)t+(b/loge)t+5=0
-->x1x2=et1/logeet2/loge=e(t1+t2)/loge=e-b/a
----> x3x4= 10t310t4=10-b/5----->x1x2>x3x4 ---> ln or log 2 vế tìm đc a>2,17 mà đề nói nguyên dương ---> a>=3
tìm b bằng tìm denta 1 trong 2 phương trình ---> b>7,74 ---> b=8
Smin=2a+3b=30