Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

 

Ta cần chứng minh \(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AM}=0\)

Đặt \(\frac{BM}{MH}=\frac{CN}{ND}=k\), khi đó \(\overrightarrow{MB=}-k\overrightarrow{MH}\) , \(\overrightarrow{NC=}-k\overrightarrow{ND}\)

Suy ra \(\left(1+k\right)\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AH}\)

và \(\left(1+k\right)\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{HD}\)

Suy ra :

\(\left(1+k\right)^2\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AM}=k\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}\right)\)

                               \(=k\left(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}\right)\)

                               \(=k\left(\overrightarrow{-AH^2}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AD}\right)\)

                               \(=k\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}=0\)

Suy ra điều phải chứng minh

Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}\) 

Với \(\begin{cases}\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1\\\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=0\end{cases}\)

Suy ra \(\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)

Từ giả thiết suy ra \(\frac{AM}{AD}=\frac{B'N}{B'B}\)

Do đó

\(\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{a}+\left(1-k\right).\overrightarrow{c}\)

Ở đây, \(k=\frac{AM}{AD}=\frac{B'N}{B'B}\)

Suy ra :

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}-k.\overrightarrow{b}+\left(1-k\right).\overrightarrow{c}\)

Khi đó :

\(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A'C}=\left(\overrightarrow{a}-k.\overrightarrow{b}+\left(1-k\right).\overrightarrow{c}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\)

                  \(=1-k+k-1=0\)

Do đó : \(MN\perp A'C\)

Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}\)

Với \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=a\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=\frac{a^2}{2}\) (như trong hình vẽ)

Do hình chóp đã cho là hình chóp đều, nên H là trọng tâm của tam giác BCD, do đó :

\(\overrightarrow{AH}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)

Suy ra \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)

Vậy : \(\overrightarrow{OB}=\frac{1}{6}\left(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{5b}-\overrightarrow{c}\right)\) Và  \(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{6}\left(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\right)\)

Từ đó : 

\(36.\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=\left(-\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\left(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\right)\)

                    \(=\overrightarrow{a^2}^{ }+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}-5\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b^2}^{ }+25\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c^2}\)

                    \(=\overrightarrow{a^2}-4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+26\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}-4\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b^2}^{ }-5\overrightarrow{c^2}\)

                   \(=a^2-2a^2+13a^2-2a^2-10a^2=0\)

Suy ra \(OB\perp OC\)

Chứng minh tương tự ta cũng được \(OC\perp OD,OD\perp OB\)

Đặt \(AB=CD=c\), \(BC=DA=a\) , \(AC=b\)  và \(BD=d\)

Do N là trung điểm cạnh BD nên theo công thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có :

\(AN^2=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{d^2}{4}\)  và    \(CN^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{d^2}{4}\)

Suy ra : \(NA^2-NC^2=0=MA^2-MC^2\)

Từ đó theo kết quả bài toán suy ra \(MN\perp AC\)

Lập luận tương tự ta cũng được  \(MN\perp BD\)

Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OH}\)

Ta sẽ chứng minh \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)

Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C ( cũng là hình chiếu của H) trên các đường thẳng BC, CA, AB và gọi Ao, Bo, Co theo thứ tự là trung điểm BC, CA, AB (như hình vẽ)

Chiếu vectơ \(\overrightarrow{u}\)  lên đường thẳng BC theo phương của \(\overrightarrow{AH}\) ta được 

\(\overrightarrow{u_a}=\overrightarrow{A_oA_1}+\overrightarrow{A_oB}+\overrightarrow{A_oC}-\overrightarrow{A_oA_1}=\overrightarrow{O}\)

Suy ra  \(\overrightarrow{u}\)  cùng phương với \(\overrightarrow{AH}\)  (1)

Tương tự như vậy,

ta cũng có  \(\overrightarrow{u}\)   cùng phương với \(\overrightarrow{BH,}\overrightarrow{CH}\) (2)

Từ (1) và (2) và do các vectơ \(\overrightarrow{AH,}\), \(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{CH}\) đôi một không cùng phương suy ra \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)

Vậy \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\)

Nhưng \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}\) nên \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\)

Do đó G, H, O thẳng hàng

Đặt \(\frac{AB}{CD}=k\)

Do AB // CD nên \(\frac{EA}{EC}=\frac{EB}{ED}=k\) và  \(\frac{FA}{FD}=\frac{FB}{FC}=k\) (như hình vẽ)

Suy ra : \(\overrightarrow{EA}=-k\overrightarrow{EC}\), \(\overrightarrow{EB}=-k\overrightarrow{ED}\) , \(\overrightarrow{FA}=-k\overrightarrow{FD}\) và \(\overrightarrow{FB}=-k\overrightarrow{FC}\)

Do M là trung điểm AB và N là trung điểm CD nên :

\(2\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=-k\overrightarrow{EC}-k\overrightarrow{ED}=-2\left(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}\right)=-2k\overrightarrow{EN}\)

Suy ra \(\overrightarrow{EM}=k\overrightarrow{EN}\) (1)

Hoàn toàn tương tự cũng được \(\overrightarrow{FM}=k\overrightarrow{FN}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh

Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{PC}=-2\overrightarrow{PM}\) , \(\overrightarrow{QA}=-2\overrightarrow{QN}\) , \(\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BM}\) và \(\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DN}\)

Đặt \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}\) ta có \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\)  và

\(\overrightarrow{BP}=\frac{\overrightarrow{BC}-\left(-2\overrightarrow{BM}\right)}{1-\left(-2\right)}\Rightarrow3\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC+}2\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\)

Do đó : \(\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{BM}\) (1)

Hoàn toàn tương tự ta cũng được \(\overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DN}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh

Đặt \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{b}\)  và   \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}\)

Theo quy tắc hình bình hành ta có :

\(\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}\)

Mà \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AM}\)

Suy ra \(\overrightarrow{AC'}=3\overrightarrow{AM}\)

Do đó A, M, C' thẳng hàng

Tương tự cũng có C', N, A thẳng hàng. Suy ra điều cần chứng minh