Bài 8. Áp suất lỏng - Bình thông nhau

Hai bình thông nhau thẳng đứng có tiết diện thẳng bên trong là 20cm2 và 10cm2 đựng thủy ngân ở độ cao 10cm trên một thước chia khoảng đặt đứng giữa hai bình.

a) Đổ vào bình lớn một cột nước nguyên chất cao 27,2cm. Hỏi độ chênh lệch giữa độ cao của mặt trên của cột nước và mặt thoáng của thủy ngân trong bình nhỏ?

b) Mực thủy ngân trong bình nhỏ đã dâng lên đến độ cao bao nhiêu trên thước chia độ?

Hình vẽ:

Giải

a) Gọi độ chênh lệch mặt thoáng hai bình là h. Xét áp suất tại hai điểm A và B cùng nằm trên một mặt phẳng nằm ngang đi qua mặt phân cách giữa nước và thủy ngân, gọi h_n là độ cao cột nước h_n = 27,2cm = 0,272m \(\Rightarrow\)h_tn = h_n - h là độ cao cột thủy ngân trên điểm B. Ta có:

\(p_A=p_B\\ \Rightarrow h_n.d_n=h_{tn}.d_{tn}\\ \Rightarrow h_n.d_n=\left(h_n-h\right).d_{tn}\\ \Rightarrow h=h_n-\dfrac{h_n.d_n}{d_{tn}}\\ =0,272-\dfrac{0,272.10000}{136000}=0,252\left(m\right)=25,2\left(cm\right)\)

Vậy mặt thoáng ở hai bình chênh nhau một đoạn 25,2cm.

b) Lúc đầu mực thủy ngân ở hai nhánh cao 10cm. Sau khi đổ thêm nước, mực thủy ngân ở nhánh 1 hạ xuống một đoạn h₁, mực thủy ngân ở nhánh 2 dâng lên một đoạn h₂. Do thể tích thủy ngân này không đổi nên:

\(S_1.h_1=S_2.h_2\Rightarrow h_1=\dfrac{S_2.h_2}{S_1}\left(1\right)\)

Tổng hai độ cao này chính bằng độ cao cột thủy ngân ở trên điểm B.

\(\Rightarrow h_1+h_2=h_{tn}\\ \Rightarrow\left(h_n-h\right)=\dfrac{S_2.h_2}{S_1}+h_2\\ \Rightarrow\left(h_n-h\right)=h_2\left(\dfrac{S_2}{S_1}+1\right)\\ \Rightarrow h_2=\dfrac{h_n-h}{\dfrac{S_2}{S_1}+1}\\ \dfrac{27,2-25,2}{\dfrac{10}{20}+1}\approx1,333\left(cm\right)\)

Vậy sau khi đổ thêm nước thì cột thủy ngân ở nhánh 2 dâng thêm 1,333cm. Lúc này cột thủy ngân đó cao: 10 + 1,333 = 11,333(cm) đây chính là độ cao trên thước.

Không biết bạn kia làm ntn mà vẽ được cái hình đẹp vậy?

Giải:

a) Khi đổ nước nguyên chất vào bình lớn thì nước này gây áp suất lên mặt thủy ngân: \(p_1=d_1h_1\)

Khi đó một phần thủy ngân bị dồn sang bình nhỏ, vậy độ chênh lệch của thủy ngân là \(h_2\)

Áp suất của cột thủy ngân tác dụng lên một điểm

Trên mặt phẳng nằm ngang \(CD\) trùng với mặt dưới của cột nước trong bình lớn. Áp suất này bằng áp suất của cột nước tác dụng lên mặt đó nên ta có:

\(d_1h_1=d_2h_2\)

\(\Leftrightarrow h_2=\dfrac{d_1h_1}{d_2}=\dfrac{10D_1h_1}{10D_2}=\dfrac{D_1h_1}{D_2}\)

\(=\dfrac{1000.0,272}{13600}=0,02\left(m\right)=2\left(cm\right)\)

Vậy độ chênh lệch giữa mặt nước trong bình lớn và mặt thủy ngân trong bình nhỏ là:

\(H=h_1-h_2=27,2-2=25,2\left(cm\right)\)

b) Mực thủy ngân trong 2 bình lúc đầu nằm trên mặt phẳng ngang \(AB\), sau khi đổ nước vào bình lớn, mực thủy ngân trong bình lớn hạ xuống 1 đoạn \(AC=a\) và dâng lên trong bình nhỏ 1 đoạn \(BE=b\). Vì thể tích thủy ngân trong bình lớn giảm được chuyển cả sang bình nhỏ nên ta có:

\(S_1a=S_2b\Rightarrow a=\dfrac{S_2b}{S_1}\)

Mặt khác ta có: \(h_2=DE=DB+BE=a+b\)

Từ đó \(h_2=\dfrac{S_2b}{S_1}+b=b\left(\dfrac{S_2}{S_1}+1\right);BE=b\)

Mà \(b=\dfrac{h_2}{\dfrac{S_2}{S_1}+1}=\dfrac{h_2}{\dfrac{S_2+S_1}{S_1}}=\dfrac{S_1h_2}{S_2+S_1}\)

Suy ra \(BE=b=\dfrac{S_1h_2}{S_2+S_1}=\dfrac{2.20}{30}\approx1,3\left(cm\right)\)

Vậy trên thước chia khoảng mực thủy ngân trong bình nhỏ chỉ:

\(10+1,3=11,3\left(cm\right)\)

Gọi m₁ là khối lượng của pít tông 1, m₂ là khối lượng của pít tông 2.

Gọi S là tiết diện của hai nhánh S = 50cm² = 5.10^-3m³.

* Trường hợp đặt quả cân lên pít tông 1.

Gọi h là độ chênh lệch mực nước giữa hai nhánh của bình thông nhau h = 5cm = 0,05m.

Xét 2 điểm A và B cùng nằm trên một mặt phẳng nằm ngang đi qua mặt dưới của pít tông 1, gọi áp suất tại hai điểm này là p_A và p_B. Ta có:

\(p_A=p_B\\ \Rightarrow\dfrac{10m+10m_1}{S}=\dfrac{10m_2}{S}+10D.h\\ \Rightarrow\dfrac{10m+10m_1}{5.10^{-3}}=\dfrac{10m_2}{5.10^{-3}}+10000.0,05\\ \Leftrightarrow10m+10m_1=10m_2+2,5\\ \Leftrightarrow m_1=m_2+0,25-m\left(1\right)\)

* Trường hợp đặt quả cân lên pít tông 2.

Xét 2 điểm A' và B' cùng nằm trên một mặt phẳng nằm ngang đi qua mặt dưới của hai pít tông, gọi áp suất tại hai điểm này là p_A' và p_B'. Ta có:

\(p_{A'}=p_{B'}\\ \Rightarrow\dfrac{10m_1}{S}=\dfrac{10m_2+10m}{S}\\ \Leftrightarrow10m_1=10m_2+10m\\ \Leftrightarrow m_1=m_2+m\left(2\right)\)

* Từ (1) và (2) ta có:

\(m_2+0,25-m=m_2+m\\ \Leftrightarrow0,25=2m\\ \Leftrightarrow m=0,125\left(kg\right)\)