$3. Phương trình đường thẳng

Để xác định tọa độ của máy bay ta phải lập phương trình quỹ đạo bay của máy bay hay chính là lập phương trình đường thẳng.

Nhận xét

• Nếu ủ là một vectơ chỉ phương của A thì \(k\overrightarrow u \) (\(k \ne 0\))cũng là một vectơ chỉ phương của A.

• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

a) Hai vectơ \(\overrightarrow u {\rm{ }}\)và \(\overrightarrow {{M_o}M} \)cùng phương với nhau.

b) Xét \(M\left( {x;y} \right)\). Vì cùng phương với  nên có số thực t sao cho \(\overrightarrow {{M_o}M}  = t\overrightarrow u {\rm{ }}\)

c) Do \(\overrightarrow {{M_o}M}  = \left( {x - {x_o};y - {y_o}} \right),\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) nên:

\(\overrightarrow {{M_o}M}  = t\overrightarrow u {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_o} = at\\y - {y_o} = bt\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_o} + at\\y = {y_o} + bt\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ điểm M là: \(M\left( {{x_o} + at;{y_o} + bt} \right)\)

a) Chọn \(t = 0;t = 1\) ta lần được được 2 điểm A và B thuộc đường thẳng \(\Delta \) là: \(A\left( {1; - 2} \right),B\left( { - 1; - 1} \right)\)

b) +) Thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - 2t\\ - 1 =  - 2 + t\end{array} \right.\). Do hệ phương trình vô nghiệm nên C không thuộc đường thẳng \(\Delta \)

+) Thay tọa độ điểm D vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - 2t\\3 =  - 2 + t\end{array} \right.\). Do hệ phương trình vô nghiệm nên D không thuộc đường thẳng \(\Delta \)

Nhận xét

• Nếu \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \left( {k \ne 0} \right)\)cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

• Nếu đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) thì vectơ \(\overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right)\)là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

a) Phương của hai vecto \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) vuông góc với nhau.

b) Ta có: \(\overrightarrow {{M_o}M}  = \left( {x - {x_o};y - {y_o}} \right),\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\)

Xét điểm \(M\left( {x;y} \right) \in \Delta \). Vì \(\overrightarrow {{M_o}M}  \bot \overrightarrow n \) nên: \(\overrightarrow {{M_o}M} .\overrightarrow n  = 0 \Leftrightarrow a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - a{x_o} + b{y_o} = 0\) 

a) Tọa độ vecto pháp tuyến của \(\Delta \) là:  

Tọa độ vecto chỉ phương của \(\Delta \) là:

b) Chọn \(x = 0;x = 1\) ta lần được được 2 điểm A và B thuộc đường thẳng \(\Delta \) là: \(A\left( {0;1} \right),B\left( {1;2} \right)\)

a) Nếu  b = 0 và \(a \ne 0\) thì phương trình đường thẳng \(\Delta \) trở thành \(ax + c = 0\) . Khi đó đường thẳng \(\Delta \) song song hoặc trùng với trục \(Oy\) và cắt trục \({\rm{O}}x\) tại điểm \(\left( { - \frac{c}{a};0} \right)\).

b) \(b \ne 0\) và a = 0 thì phương trình đường thẳng \(\Delta \) trở thành \(by + c = 0\) . Khi đó đường thẳng \(\Delta \) song song hoặc trùng với trục \({\rm{O}}x\) và cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0; - \frac{c}{b}} \right)\).

c) Nếu \(b \ne 0\) và \(a \ne 0\)thì phương trình đường thẳng \(\Delta \) có thể viết thành \(y =  - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\). Khi đó, đường thẳng \(\Delta \) là đồ thị hàm số bậc nhất \(y =  - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\)vời hệ số góc là \(k =  - \frac{a}{b}\).

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng\(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)là: \(3\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 1 = 0\)

b) Do \(\Delta \) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 2{\rm{ }};{\rm{ 3}}} \right).\)nên vecto pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\overrightarrow n  = \left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng\(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)là: \(3\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 1 = 0\)

a) Phương trình đoạn chắn của đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua 2 điểm \(\left( {0;4} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1\)

b) Phương trình đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua 2 điểm \(\left( {2;4} \right)\) và \(\left( { - 2; - 2} \right)\) là:

\(\frac{{x - 2}}{{ - 2 - 2}} = \frac{{y - 4}}{{ - 2 - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 4}}{{ - 6}} \Leftrightarrow 3x - 2y + 2 = 0\)

c) Do đường thẳng \({\Delta _3}\) vuông góc với \({\rm{O}}x\) nên vecto pháp tuyến của \({\Delta _3}\) là: \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1;0} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng \({\Delta _3}\)đi qua điểm \(\left( { - \frac{5}{2};0} \right)\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1;0} \right)\)là: \(1\left( {x + \frac{5}{2}} \right) + 0\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{5}{2}\)

d) Do đường thẳng \({\Delta _4}\) vuông góc với \({\rm{O}}x\) nên vecto pháp tuyến của \({\Delta _4}\) là: \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {0;1} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng \({\Delta _4}\) đi qua điểm \(\left( {0;3} \right)\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {0;1} \right)\)là: \(0\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 3\)