Bài tập cuối chương 3

Hướng dẫn giải

a) Chọn A. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: 4,2 – 2,7 = 1,5(km)

b) Chọn D

Cỡ mẫu \[n = 20\]

Gọi \[{x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{20}}\] là mẫu số liệu gốc về quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương trong 20 ngày được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \[{x_1}; \ldots ;{\rm{ }}{x_3} \in [2,7;3,0)\]; \[{x_4}; \ldots ;{\rm{ }}{x_9} \in [3,0;3,3)\];\[{x_{10}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{14}} \in [3,3;3,6)\];\[{x_{15}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{18}} \in [3,6;3,9)\];\[{x_{19}};{\rm{ }}{x_{20}} \in [3,9;4,2)\]

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \[\frac{1}{2}({x_5} + {x_6}) \in [3,0;3,3)\]. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{Q_1} = 3,0 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{6}(3,3 - 3,0) = 3,1\]

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \[\frac{1}{2}({x_{15}} + {x_{16}}) \in [3,6;3,9)\]. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{Q_3} = 3,6 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (3 + 6 + 5)}}{4}(3,9 - 3,6) = 3,675\]

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0,575\]

c) Chọn C

Quãng đường (km)	[2,7; 3,0)	[3,0; 3,3)	[3,3; 3,6)	[3,6; 3,9)	[3,9; 4,2)
Giá trị đại diện	2,85	3,15	3,45	3,75	4,05
Số ngày	3	6	5	4	2

Số trung bình: \[\overline x  = \frac{{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}}{{20}} = 3,39\]

Phương sai: \[{S^2} = \frac{{3.2,{{85}^2} + 6.3,{{15}^2} + 5.3,{{45}^2} + 4.3,{{75}^2} + 2.4,{{05}^2}}}{{20}} - 3,{39^2} = 0,1314\]

d) Chọn D

Độ lệch chuẩn: \[\sigma  = \sqrt {0,1314}  \approx 0,36\]

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Chọn A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: 45 – 20 = 25(phút)

b) Chọn D

Cỡ mẫu \(n = 18\)

Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{18}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập nhảy mỗi ngày của bạn Chi được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1}; \ldots ;{\rm{ }}{x_6} \in [20;25)\); \({x_7}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{12}} \in [25;30)\);\({x_{13}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{16}} \in [30;35)\);\({x_{17}}; \in [35;40)\);\({x_{18}} \in [40;45)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_5} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{18}}{4}}}{6}(25 - 20) = 23,75\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{14}} \in [30;35)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 30 + \frac{{\frac{{3.18}}{4} - (6 + 6)}}{4}(35 - 30) = 31,875\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8,125\)

c) Chọn D

Số trung bình: \(\overline x  = \frac{{6.22,5 + 6.27,5 + 4.32,5 + 37,5 + 42,5}}{{18}} \approx 28,33\)

Phương sai: \({S^2} = \frac{{6.22,{5^2} + 6.27,{5^2} + 4.32,{5^2} + 37,{5^2} + 42,{5^2}}}{{18}} - 28,{33^2} = 31,25\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 300 – 50 = 250 (km)

Cỡ mẫu \(n = 30\)

Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về độ dài quãng đường bác tài xế lái mỗi ngày trong một tháng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1}; \ldots ;{\rm{ }}{x_5} \in [50;100)\); \({x_6}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{15}} \in [100;150)\);\({x_{16}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{24}} \in [150;200)\);\({x_{25}};...;{x_{28}} \in [200;250)\);\({x_{29}};{x_{30}} \in [250;300)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_8} \in [100;150)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 100 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{{10}}(150 - 100) = 112,5\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{23}} \in [150;200)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 150 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - (5 + 10)}}{9}(200 - 150) = \frac{{575}}{3}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 79,17\)

 

Độ dài quãng đường (km)	[50; 100)	[100; 150)	[150; 200)	[200; 250)	[250; 300)
Giá trị đại diện	75	125	175	225	275
Số ngày	5	10	9	4	2

Số trung bình: \(\overline x  = \frac{{5.75 + 10.125 + 9.175 + 4.225 + 2.275}}{{30}} = 155\)

Độ lệch chuẩn: \(\sigma  = \sqrt {\frac{{{{5.75}^2} + {{10.125}^2} + {{9.175}^2} + {{4.225}^2} + {{2.275}^2}}}{{30}} - {{155}^2}}  = 3100\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Có 3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2 = 25 thửa ruộng đã được khảo sát

b)

Năng suất (tấn/ha)	[5,5; 5,7)	[5,7; 5,9)	[5,9; 6,1)	[6,1; 6,3)	[6,3; 6,5)	[6,5; 6,7)
Số thửa ruộng	3	4	6	5	5	2

 

Giá trị đại diện (tấn/ha)	5,6	5,8	6,0	6,2	6,4	6,6
Tần số tương đối	3	4	6	5	5	2

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 6,7 – 5,5 = 1,2 (tấn/ha)

Cỡ mẫu \(n = 25\)

Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về năng suất của 25 thửa ruộng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1}; \ldots ;{\rm{ }}{x_3} \in [5,5;5,7)\); \({x_4}; \ldots ;{\rm{ }}{x_7} \in [5,7;5,9)\);\({x_8}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{13}} \in [5,9;6,1)\);\({x_{14}};...;{x_{18}} \in [6,1;6,3)\);\({x_{19}};...;{x_{23}} \in [6,3;6,5)\);\({x_{24}};{x_{25}} \in [6,5;6,7)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_6};{x_7}) \in [5,7;5,9)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 5,7 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 3}}{4}(5,9 - 5,7) = 5,8625\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{19}} \in [6,3;6,5)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 6,3 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (3 + 4 + 6 + 5)}}{5}(6,5 - 6,3) = 6,33\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0,4675\)

Số trung bình: \(\overline x  = \frac{{3.5,6 + 4.5,8 + 6.6,0 + 5.6,2 + 5.6,4 + 2.6,6}}{{25}} = 6,088\)

Độ lệch chuẩn: \(\sigma  = \sqrt {\frac{{{{5.75}^2} + {{10.125}^2} + {{9.175}^2} + {{4.225}^2} + {{2.275}^2}}}{{30}} - {{155}^2}}  \approx 0,29\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Thời gian (phút)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)	[10; 11)
Giá trị đại diện	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5
Số học sinh trường X	8	10	13	10	9
Số học sinh trường Y	4	12	17	14	3

a) Cỡ mẫu: n = 50

Xét số liệu của trường X:

Số trung bình: \(\overline {{x_X}}  = \frac{{8.6,5 + 10.7,5 + 13.8,5 + 10.9,5 + 9.10,5}}{{50}} = 8,54\)

Xét số liệu của trường Y:

Số trung bình: \(\overline {{x_Y}}  = \frac{{4.6,5 + 12.7,5 + 17.8,5 + 14.9,5 + 3.10,5}}{{50}} = 8,5\)

Vậy nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn

b) Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{50}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của 50 học sinh lớp 4 trường X được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1}; \ldots ;{\rm{ }}{x_8} \in [6;7)\); \({x_9}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{18}} \in [7;8)\);\({x_{19}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{31}} \in [8;9)\);\({x_{32}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{41}} \in [9;10)\);\({x_{42}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{50}} \in [10;11)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{13}} \in [7;8)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 8}}{{10}}(8 - 7) = 7,45\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{38}} \in [9;10)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - (8 + 10 + 13)}}{{10}}(10 - 9) = 9,65\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 2,2\)

Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{50}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của 50 học sinh lớp 4 trường Y được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({y_1}; \ldots ;{\rm{ }}{y_4} \in [6;7)\); \({y_5}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{16}} \in [7;8)\);\({y_{17}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{33}} \in [8;9)\);\({y_{34}};...;{y_{47}} \in [9;10)\);\({y_{48}};...;{y_{50}} \in [10;11)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({y_{13}} \in [7;8)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 7 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 4}}{{12}}(8 - 7) = \frac{{185}}{{24}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{38}} \in [9;10)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 9 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - (4 + 12 + 17)}}{{14}}(10 - 9) = \frac{{261}}{{28}}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{271}}{{168}}\)

Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn

c) Xét số liệu của trường X:

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _Y} = \sqrt {\frac{{8.6,{5^2} + 10.7,{5^2} + 13.8,{5^2} + 10.9,{5^2} + 9.10,{5^2}}}{{50}} - 8,{{54}^2}}  \approx 1,33\)

Xét số liệu của trường Y:

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _Y} = \sqrt {\frac{{4.6,{5^2} + 12.7,{5^2} + 17.8,{5^2} + 14.9,{5^2} + 3.10,{5^2}}}{{50}} - 8,{5^2}}  \approx 1,04\)

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Cỡ mẫu: n = 20

Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{20}}\) là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1} \in [130;160)\); \({x_2} \in [160;190)\);\({x_3} \in [190;220)\);\({x_4}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{11}} \in [220;250)\);\({x_{12}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{18}} \in [250;280)\);\({x_{19}};{x_{20}} \in [280;310)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_5} + {x_6}) \in [220;250)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 220 + \frac{{\frac{{20}}{4} - (1 + 1 + 1)}}{8}(250 - 220) = 227,5\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{15}} + {x_{16}}) \in [250;280)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 250 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (1 + 1 + 1 + 8)}}{7}(280 - 250) = \frac{{1870}}{7}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 39,64\)

Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{50}}\) là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({y_1}; \in [160;190)\); \({y_2};{y_3} \in [190;220)\);\({y_4};...;{y_7} \in [220;250)\);\({y_8};...;{y_{17}} \in [250;280)\); \({y_{4 = 18}};...;{y_{20}} \in [280;310)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_5} + {y_6}) \in [220;250)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 220 + \frac{{\frac{{20}}{4} - (1 + 2)}}{4}(250 - 220) = 235\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_{15}} + {y_{16}}) \in [250;280)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 250 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (1 + 2 + 4)}}{{10}}(280 - 250) = 274\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = 39\)

Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn

b)

Xét số liệu của Nha Trang:

Số trung bình: \(\overline {{x_X}}  = \frac{{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}}{{20}} = 242,5\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _X} = \sqrt {\frac{{{{1.145}^2} + {{1.175}^2} + {{1.205}^2} + {{8.235}^2} + {{7.265}^2} + {{2.295}^2}}}{{20}} - 242,{5^2}}  \approx 35,34\)

Xét số liệu của Quy Nhơn:

Số trung bình: \(\overline {{x_Y}}  = \frac{{1.175 + 2.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}}{{20}} = 253\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _Y} = \sqrt {\frac{{{{1.175}^2} + {{2.205}^2} + {{4.235}^2} + {{10.265}^2} + {{3.295}^2}}}{{20}} - {{253}^2}}  \approx 30,59\)

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) 

Điểm trung bình	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)
Giá trị đại diện	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5
Số học sinh trường A	4	5	3	4	2
Số học sinh trường B	2	5	4	3	1

b) Cỡ mẫu: \({n_A} = 18\)

Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{18}}\) là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1};...;{x_4} \in [5;6)\); \({x_5};...;{x_9} \in [6;7)\);\({x_{10}};...;{x_{12}} \in [7;8)\);\({x_{12}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{16}} \in [8;9)\);\({x_{17}};{\rm{ }}{x_{18}} \in [9;10)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_5} \in [6;7)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{18}}{4} - 4}}{5}(7 - 6) = 6,1\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{14}} \in [8;9)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 8 + \frac{{\frac{{3.18}}{4} - (4 + 5 + 3)}}{4}(9 - 8) = 8,375\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 2,275\)

Cỡ mẫu: \({n_B} = 15\)

Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{15}}\) là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({y_1};{y_2} \in [5;6)\); \({y_3};...;{y_7} \in [6;7)\);\({y_8};...;{y_{11}} \in [7;8)\);\({y_{12}};...;{y_{14}} \in [8;9)\); \({y_{15}} \in [9;10)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({y_4} \in [6;7)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 6 + \frac{{\frac{{15}}{4} - 2}}{5}(7 - 6) = 6,35\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{12}} \in [8;9)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 8 + \frac{{\frac{{3.15}}{4} - (2 + 5 + 4)}}{3}(9 - 8) = 8,08\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = 1,73\)

Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn

c) Xét số liệu của trường A:

Số trung bình: \(\overline {{x_X}}  = \frac{{4.5,5 + 5.6,5 + 3.7,5 + 4.8,5 + 2.9,5}}{{18}} = 7,22\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _X} = \sqrt {\frac{{4.5,{5^2} + 5.6,{5^2} + 3.7,{5^2} + 4.8,{5^2} + 2.9,{5^2}}}{{18}} - 7,{{22}^2}}  \approx 1,79\)

Xét số liệu của trường B:

Số trung bình: \(\overline {{x_Y}}  = \frac{{2.5,5 + 5.6,5 + 4.7,5 + 3.8,5 + 1.9,5}}{{15}} = 7,23\)

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _Y} = \sqrt {\frac{{2.5,{5^2} + 5.6,{5^2} + 4.7,{5^2} + 3.8,{5^2} + 1.9,{5^2}}}{{15}} - 7,{{23}^2}}  \approx 1,31\)

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn

(Trả lời bởi datcoder)