Biểu đồ sau mô tả kết quả điều tra về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A và B.
a) Hãy xác định giá trị đại điện cho mỗi nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?
c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?
a)
Điểm trung bình | [5; 6) | [6; 7) | [7; 8) | [8; 9) | [9; 10) |
Giá trị đại diện | 5,5 | 6,5 | 7,5 | 8,5 | 9,5 |
Số học sinh trường A | 4 | 5 | 3 | 4 | 2 |
Số học sinh trường B | 2 | 5 | 4 | 3 | 1 |
b) Cỡ mẫu: \({n_A} = 18\)
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{18}}\) là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};...;{x_4} \in [5;6)\); \({x_5};...;{x_9} \in [6;7)\);\({x_{10}};...;{x_{12}} \in [7;8)\);\({x_{12}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{16}} \in [8;9)\);\({x_{17}};{\rm{ }}{x_{18}} \in [9;10)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_5} \in [6;7)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{18}}{4} - 4}}{5}(7 - 6) = 6,1\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{14}} \in [8;9)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 8 + \frac{{\frac{{3.18}}{4} - (4 + 5 + 3)}}{4}(9 - 8) = 8,375\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 2,275\)
Cỡ mẫu: \({n_B} = 15\)
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{15}}\) là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường B được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{y_2} \in [5;6)\); \({y_3};...;{y_7} \in [6;7)\);\({y_8};...;{y_{11}} \in [7;8)\);\({y_{12}};...;{y_{14}} \in [8;9)\); \({y_{15}} \in [9;10)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({y_4} \in [6;7)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 6 + \frac{{\frac{{15}}{4} - 2}}{5}(7 - 6) = 6,35\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{12}} \in [8;9)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 8 + \frac{{\frac{{3.15}}{4} - (2 + 5 + 4)}}{3}(9 - 8) = 8,08\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = 1,73\)
Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn
c) Xét số liệu của trường A:
Số trung bình: \(\overline {{x_X}} = \frac{{4.5,5 + 5.6,5 + 3.7,5 + 4.8,5 + 2.9,5}}{{18}} = 7,22\)
Độ lệch chuẩn: \({\sigma _X} = \sqrt {\frac{{4.5,{5^2} + 5.6,{5^2} + 3.7,{5^2} + 4.8,{5^2} + 2.9,{5^2}}}{{18}} - 7,{{22}^2}} \approx 1,79\)
Xét số liệu của trường B:
Số trung bình: \(\overline {{x_Y}} = \frac{{2.5,5 + 5.6,5 + 4.7,5 + 3.8,5 + 1.9,5}}{{15}} = 7,23\)
Độ lệch chuẩn: \({\sigma _Y} = \sqrt {\frac{{2.5,{5^2} + 5.6,{5^2} + 4.7,{5^2} + 3.8,{5^2} + 1.9,{5^2}}}{{15}} - 7,{{23}^2}} \approx 1,31\)
Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn