Bài tập cuối chương 1

Hướng dẫn giải

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 7y =  - 1\\3x + 2y =  - 5\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( { - 3;2} \right).\) Vậy đáp án đúng là đáp án B

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ của điểm \(A\left( {1;2} \right)\) vào đường thẳng ta có: \(4.1 - 3.2 =  - 1\) (vô lí)

Thay tọa độ của điểm \(B\left( {5;6} \right)\) vào đường thẳng ta có: \(4.5 - 3.6 =  - 1\) (vô lí)

Thay tọa độ của điểm \(C\left( {2;3} \right)\) vào đường thẳng ta có:  (luôn đúng)

Thay \(4.2 - 3.3 =  - 1\)y tọa độ của điểm \(D\left( { - 1; - 1} \right)\) vào đường thẳng ta có: \(4.\left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 1} \right) =  - 1\) (luôn đúng)

Vậy điểm \(C\left( {2;3} \right)\) và \(D\left( { - 1; - 1} \right)\) thuộc đường thẳng \(4x - 3y =  - 1.\) Vậy đáp án đúng là đáp án C.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Giải \(\left\{ \begin{array}{l}1,5x - 0,6y = 0,3\\ - 2x + y =  - 2\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 8\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( { - 3; - 8} \right).\) Vậy đáp án đúng là đáp án C.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0,6x + 0,3y = 1,8\\2x + y =  - 6\end{array} \right.\) qua MTCT, màn hình hiện kết quả “No solution” từ đó kết luận vô nghiệm. Vậy đáp án đúng là đáp B.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 10\\\frac{2}{5}x + y = 1;\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ 2 ta được \(2x + 5y = 5\) từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 10\\2x + 5y = 5\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {2x + 5y} \right) - \left( {2x + 5y} \right) = 10 - 5\) hay \(0x + 0y = 5\) (vô lí). Phương trình này không có giá trị nào của x và y thỏa mãn nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) \(\left\{ \begin{array}{l}0,2x + 0,1y = 0,3\\3x + y = 5;\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 10 ta được \(2x + y = 3\) từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\3x + y = 5\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {2x + y} \right) - \left( {3x + y} \right) = 3 - 5\) hay \( - x =  - 2\) nên \(x = 2.\)

Thay \(x = 2\) vào phương trình thứ nhất ta được \(2.2 + y = 3\) hay \(y =  - 1.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {2; - 1} \right).\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2}\\6x - 4y = 2.\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4 ta được \(6x - 4y = 2\) từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 4y = 2\\6x - 4y = 2\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {6x - 4y} \right) - \left( {6x - 4y} \right) = 2 - 2\) hay \(0x + 0y = 0.\) Phương trình này có vô số nghiệm \(x,y \in \mathbb{R}\) tùy ý thỏa mãn.

Với \(\frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2}\) nên \(y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý. Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}0,5x + 2y =  - 2,5\\0,7x - 3y = 8,1;\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, phương trình thứ 2 với 2 ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1,5x + 6y =  - 7,5\\1,4x - 6y = 16,2\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {1,5x + 6y} \right) + \left( {1,4x - 6y} \right) =  - 7,5 + 16,2\) hay \(2,9x = 8,7\) nên \(x = 3.\) Với \(x = 3\) thay vào phương trình đầu ta có \(0,5.3 + 2y =  - 2,5\) nên \(y =  - 2.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {3; - 2} \right).\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 3y =  - 2\\14x + 8y = 19;\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 8, phương trình thứ hai với 3 ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}40x - 24y =  - 16\\42x + 24y = 57\end{array} \right.\)

Cộng hai vế của phương trình ta có \(\left( {40x - 24y} \right) + \left( {42x + 24y} \right) =  - 16 + 57\) hay \(82x = 41\) nên \(x = \frac{1}{2}.\) Với \(x = \frac{1}{2}\) thay vào phương trình đầu ta được \(5.\frac{1}{2} - 3y =  - 2\) hay \(y = \frac{3}{2}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right).\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {1 + y} \right) =  - 2\\3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {1 + y} \right) =  - 3.\end{array} \right.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {1 + y} \right) =  - 2\\3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {1 + y} \right) =  - 3\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 + 3 + 3y =  - 2\\3x - 6 - 2 - 2y =  - 3\end{array} \right.\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y =  - 1\\3x - 2y = 5\end{array} \right.\)

 Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y =  - 2\\9x - 6y = 15\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {4x + 6y} \right) + \left( {9x - 6y} \right) =  - 2 + 15\) hay \(13x = 13\) nên \(x = 1.\) Với \(x = 1\) thay vào phương trình đầu ta được \(2.1 + 3y =  - 1\) nên \(y =  - 1.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {1; - 1} \right).\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Số N cần tìm có dạng \(\overline {ab} \left( {0 < a \le 9;0 \le b \le 9;a,b \in \mathbb{N}} \right).\)

Viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số N thì ta được số mới có dạng \(\overline {a3b} \)

Thì được một số lớn hơn số 2N là 585 đơn vị nên ta có phương trình \(\overline {a3b}  - 2.\overline {ab}  = 585\) suy ra \(100a + 30 + b - 2.\left( {10a + b} \right) = 585\) hay \(80a - b = 555.\)

Viết hai chữ số của số N theo thứ tự ngược lại thì ta được số có dạng \(\overline {ba} \)

Thì được một số nhỏ hơn số N là 18 đơn vị nên ta có phương trình \(\overline {ab}  - \overline {ba}  = 18\) suy ra \(10a + b - \left( {10b + a} \right) = 18\) hay \(a - b = 2.\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}80a - b = 555\\a - b = 2\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {80a - b} \right) - \left( {a - b} \right) = 555 - 2\) hay \(79a = 553\) nên \(a = 7\left( {t/m} \right).\) Với \(a = 7\) thay vào phương trình thứ hai ta được \(b = 5\left( {t/m} \right).\)

Vậy N = 75.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Số ha cấy lúa cũ là \(160 - 60 = 100\left( {ha} \right).\)

Gọi năng suất của mỗi giống lúa trên 1 ha là x,y (tấn thóc) \(\left( {x,y > 0} \right).\)

Số lúa cũ thu được trên 8 ha giống lúa cũ là \(8x\) (tấn thóc)

Số lúa mới thu được trên 7 ha giống lúa mới là \(7y\) (tấn thóc)

Kết quả 7 ha giống lúa mới cho thu hoạch nhiều hơn 8 ha giống lúa cũ là 2 tấn thóc nên ta có phương trình \(7y - 8x = 2\)

Số lúa cũ thu được trên 100 ha giống lúa cũ là \(100x\) (tấn thóc)

Số lúa mới thu được trên 60 ha giống lúa mới là \(60y\) (tấn thóc)

Tổng số thóc (cả hai giống) thu hoạch cả vụ trên 160 ha là 860 tấn nên ta có phương trình \(100x + 60y = 860\) hay \(5x + 3y = 43\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}7y - 8x = 2\\5x + 3y = 43\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, phương trình thứ hai với 7 ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}21y - 24x = 6\\35x + 21y = 301\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {21y - 24x} \right) - \left( {35x + 21y} \right) = 6 - 301\) hay \( - 59x =  - 295\) nên \(x = 5\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 5\) thay vào phương trình thứ nhất ta được \(y = 6\left( {t/m} \right).\)

Vậy năng suất của mỗi giống lúa cũ trên 1 ha là 5 tấn thóc

Năng suất của mỗi giống lúa  mới trên 1 ha là 6 tấn thóc.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Chu vi của hình tròn là \(20.3,14 = 62,8\left( {cm} \right)\)

Không mất tổng quát, xét trường hợp vật thứ nhất chuyển động nhanh hơn vật thứ hai.

Gọi vận tốc (cm/s) của mỗi vật là \(x,y\left( {x > y > 0} \right).\)

Quãng đường vật thứ nhất đi được sau 20 giây là \(20x\left( {cm} \right).\)

Quãng đường vật thứ nhất đi được sau 20 giây là \(20y\left( {cm} \right).\)

Hai vật chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau nên ta có phương trình \(20x - 20y = 62,8\) hay \(x - y = 3,14\)

Quãng đường vật thứ nhất đi được sau 4 giây là \(4x\left( {cm} \right).\)

Quãng đường vật thứ nhất đi được sau 4 giây là \(4y\left( {cm} \right).\)

chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây chúng lại gặp nhau nên ta có phương trình \(4x + 4y = 62,8\) hay \(x + y = 15,7\)

Từ đó ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3,14\\x + y = 15,7\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(x - y + x + y = 3,14 + 15,7\) hay \(2x = 18,84\) nên \(x = 9,42\left( {t/m} \right).\)

Thay \(x = 9,42\) vào phương trình đầu ta được \(y = 6,28\left( {t/m} \right).\)

Vậy vận tốc của 2 vật lần lượt là 9,42 cm/s và 6,28 cm/s.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền người mua hàng phải trả đối với loại hàng thứ nhất và loại hàng thứ hai không kể thuế VAT là \(x,y\left( {x,y > 0} \right)\) (triệu đồng)

Khi thuế giá trị gia tăng (VAT) tới mức 10% đối với loại hàng thứ nhất thì giá tiền của loại hàng thứ nhất là \(110\% x = 1,1x\)

8% đối với loại hàng thứ hai thì giá tiền của loại hàng thứ hai là \(108\% y = 1,08y\)

Người mua hàng phải trả tổng cộng là 21,7 triệu đồng nên ta có phương trình \(1,1x + 1,08y = 21,7\)

Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì giá tiền của loại hàng thứ nhất là \(109\% x = 1,09x\)

Giá tiền của loại hàng thứ hai là \(109\% y = 1,09y\)

Người đó phải trả tổng cộng 21,8 triệu đồng nên ta có phương trình \(1,09x + 1,09y = 21,8\)hay \(x + y = 20\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1,1x + 1,08y = 21,7\\x + y = 20\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai ta có \(x = 20 - y\) thay vào phương trình nhất ta được \(1,1\left( {20 - y} \right) + 1,08y = 21,7\) hay \( - 0,02y = 0,3\) nên \(y = 15\left( {t/m} \right).\)

Với \(y = 15\) thì \(x = 5\left( {t/m} \right).\)

Vậy nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả 5 triệu đồng cho mặt hàng thứ nhất và 15 triệu cho mặt hàng thứ hai.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)