Vẽ và cắt hình tam giác ABC rồi gấp hình sao cho cạnh AB trùng với cạnh AC ta được nếp gấp AD (Hình 1). Đoạn thẳng AD nằm trên tia phân giác của góc nào của tam giác ABC?
Bài 9. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Hoạt động 1 (SGK Chân trời sáng tạo trang 79)
Thảo luận (1)
Thực hành 1 (SGK Chân trời sáng tạo trang 79)
Trong Hình 3, hãy vẽ các đường phân giác GM, EN và FP của tam giác EFG.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Hoạt động 2 (SGK Chân trời sáng tạo trang 79)
Vẽ một tam giác trên giấy. Cắt rời tam giác ra khỏi tờ giấy rồi gấp hình tam giác đó để xác định ba đường phân giác của tam giác (Hình 4). Em hãy quan sát và nhận xét xem ba đường phân giác có cùng đi qua một điểm không.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa thấy 3 tia phân giác của tam giác cùng đi qua 1 điểm
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Vận dụng (SGK Chân trời sáng tạo trang 79)
Một nông trại nằm trên mảnh đất hình tam giác có ba cạnh tường rào tiếp giáp với ba con đường (Hình 7). Hỏi phải đặt trạm qua sát ở đâu để nó cách đều ba cạnh tường rào?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTham khảo:
Theo định lí giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác cách đều 3 cạnh.
Nên trạm quan sát sẽ phải là điểm giao của 3 đường phân giác của 3 góc vườn.
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Bài 1 (SGK Chân trời sáng tạo trang 81)
Trong Hình 8, I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.
a) Cho biết IM = 6 (Hình 8a). Tính IK và IN.
b) Cho biết IN = x + 3, IM = 2x – 3 (Hình 8b). Tìm x
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Theo đề bài ta có AI, BI, CI là các phân giác của tam giác ABC
Mà I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác ABC
\( \Rightarrow \)IK = IN = IM = 6cm (Định lí về sự đồng quy của 3 đường phân giác trong tam giác)
b) Vì I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác ABC
\( \Rightarrow \) IK = IN = IM
\( \Rightarrow \) x + 3 = 2x – 3
\( \Rightarrow \) 3 + 3 = 2x – x
\( \Rightarrow \) x = 6
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 2 (SGK Chân trời sáng tạo trang 82)
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc B cắt AM tại I. Chứng minh rằng CI là tia phân giác của góc C.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTham khảo:
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có :
AM chung
BM = CM ( M là trung điểm BC )
AB = AC (tam giác ABC cân tại A theo giả thiết)
\( \Rightarrow \Delta AMB = \Delta AMC (c-c-c)\)
\( \Rightarrow \widehat{BAM}= \widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow \) AM thuộc tia phân giác của góc A
Mà AM cắt tia phân giác góc B tại I
\( \Rightarrow \) I là giao của các đường phân giác trong tam giác ABC
\( \Rightarrow \) CI là phân giác góc C (định lí 3 đường phân giác cắt nhau tại 1 điểm)
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Bài 3 (SGK Chân trời sáng tạo trang 82)
Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại M. Tia AM cắt BC tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BC.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTham khảo:
Vì M là giao điểm của 2 phân giác góc B, C nên M là điểm giao của 3 phân giác trong tam giác ABC
\( \Rightarrow \) AM cũng là phân giác của góc A (định lí về 3 phân giác cùng đi qua 1 điểm)
\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)(tính chất tia phân giác của 1 góc)
Xét tam giác ABH và tam giác ACH có :
AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )
\(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)(chứng minh trên)
AH cạnh chung
\( \Rightarrow \DeltaABH=\Delta ACH\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \) HB = HC (cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \)H là trung điểm của BC
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Bài 4 (SGK Chân trời sáng tạo trang 82)
Cho tam giác DEF. Tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thằng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTham khảo:
Theo đề bài ta có MN song song với EF
\( \Rightarrow \) \(\widehat {FEI} = \widehat {EIM}\)(2 góc so le trong) và \(\widehat {EFI} = \widehat {FIN}\)(2 góc so le trong)
Xét có \(\widehat {FEI} = \widehat {EIM} = \widehat {IEM}\)(EI là phân giác góc E)cân tại M (2 góc đáy bằng nhau)
\( \Rightarrow \) EM = IM (2 cạnh bên tam giác cân) (1)
Xét có : \(\widehat {EFI} = \widehat {IFN} = \widehat {NIF}\)(FI là phân giác góc F) cân tại N (2 góc đáy bằng nhau)
\( \Rightarrow \)FN = IN (2 cạnh bên tam giác cân) (2)
Ta thấy MN = MI + NI (3)
Từ (1); (2) và (3) \( \Rightarrow \) ME + NF = MN
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Bài 5 (SGK Chân trời sáng tạo trang 84)
Cho tam giác AMN vuông tại A. Tia phân giác của góc M và N cắt nhau tại I. Tia MI cắt AN tại R. Kẻ RT vuông góc với AI tại T. Chứng minh rằng AT = RT.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTham khảo:
Theo đề bài ta có tia phân giác của góc M, N cắt nhau tại I
\( \Rightarrow \) I là điểm giao của 3 phân giác trong tam giác AMN
\( \Rightarrow \) AI là phân giác của góc A
\( \Rightarrow \) \(\widehat {IAN} = \widehat {IAM} = {45^o}\)(góc A vuông)
Xét tam giác ATR có \(\widehat {IAN} = {45^o}\) và \(\widehat {ATR} = {90^o}\) theo định lí tổng 3 góc trong 1 tam giác
\( \Rightarrow \widehat {IAN} + \widehat {ATR} + \widehat {TRA} = {180^o} \Rightarrow \widehat {TRA} = {180^o} - {90^o} - {45^o} = {45^o}\)
\( \Rightarrow \Delta ATR \) vuông cân tại T ( tam giác có 2 góc ở đáy = 45 độ )
\( \Rightarrow AT = TR\)
(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)
Bài 6 (SGK Chân trời sáng tạo trang 82)
Ba thành phố A, B, C được nối với nhau bởi xa lộ (Hình 9). Người ta muốn tìm một địa điểm để làm một sân bay sao cho địa điểm này phải cách đều ba xa lộ đó. Hãy xác định vị trí của sân bay thỏa mãn điều kiện trên và giải thích cách thực hiện.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTheo đề bài ta có 3 thành phố tạo thành 1 hình tam giác và các cạnh của tam giác đó là các xa lộ
Người ta muốn xây sân bay cách đều 3 xa lộ nên điểm đó sẽ cách đều 3 cạnh của tam giác
\( \Rightarrow \) Điểm đó là giao điểm của 3 phân giác trong tam giác ABC
Để xác định được điểm đặt saan bay ta phải vẽ các tia phân giác từ các đỉnh của tam giác ABC chúng cắt nhau ở đâu thì đó chính là điểm cần xây sân bay thỏa mãn yêu cầu
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)