Bài 4. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Hướng dẫn giải

a) \({2^x} > 16 \Leftrightarrow {2^x} > {2^4} \Leftrightarrow x > 4\) (do \(2 > 1\)) .

b) \(0,{1^x} \le 0,001 \Leftrightarrow 0,{1^x} \le 0,{1^3} \Leftrightarrow x \ge 3\) (do \(0 < 0,1 < 1\)).

c) \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{x - 2}} \ge {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{x - 2}} \ge {\left( {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} \right)^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{x - 2}} \ge {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{2x}} \Leftrightarrow x - 2 \le 2{\rm{x}}\) (do \(0 < \frac{1}{5} < 1\))

\( \Leftrightarrow x \ge  - 2\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

\(pH =  - \log x = {\log _{{{10}^{ - 1}}}}x = {\log _{\frac{1}{{10}}}}x\)

Do \(0 < \frac{1}{{10}} < 1\) nên hàm số \(pH = {\log _{\frac{1}{{10}}}}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}pH = 7,3 \Leftrightarrow 7,3 = {\log _{\frac{1}{{10}}}}x \Leftrightarrow x = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{7,3}} \approx 5,{01.10^{ - 8}}\\pH = 7,45 \Leftrightarrow 7,45 = {\log _{\frac{1}{{10}}}}x \Leftrightarrow x = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{7,45}} \approx 3,{55.10^{ - 8}}\end{array}\)

Vì hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên nồng độ H⁺ trong máu nhận giá trị trong miền từ \(3,{55.10^{ - 8}}\) đến \(5,{01.10^{ - 8}}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

tham  khảo

Ta có:

\(pH=-logx\Leftrightarrow6,5=-logx\Leftrightarrow logx=-6,5\Leftrightarrow x=10^{-6,5}\approx3,16.10^{-77}\)

Vậy nồng độ \(H^+\) của sữa bằng \(3,16.10^{-7}\) mol/L.

(Trả lời bởi Mai Trung Hải Phong)

Hướng dẫn giải

Do \(10 > 1\) nên hàm số \(P\left( t \right) = {50.10^{kt}}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

a) Tại thời điểm \(t = 10\) thì số lượng cá thể vi khuẩn bằng 50000.

Vì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên với \(t > 10\) thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50000.

b) Thời gian để số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 100000 là:

\(100000 = {50.10^{0,3t}} \Leftrightarrow {10^{0,3t}} = 2000 \Leftrightarrow 0,3t = \log 2000 \Leftrightarrow t \approx 11\) (giờ)

Tại thời điểm \(t = 10\) thì số lượng cá thể vi khuẩn bằng 50000.

Tại thời điểm \(t = 11\) thì số lượng cá thể vi khuẩn bằng 100000.

Vì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên với \(10 < t < 11\) thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50000 nhưng chưa vượt quá 100000.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

tham khảo.

Đồ thị của hai hàm số \(y=\log_ax\) và \(y=b\) luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất. Khi đó phương trình \(\log_ax=b\)  có nghiệm duy nhất \(x=a^b\).

(Trả lời bởi Mai Trung Hải Phong)

Hướng dẫn giải

a) Với \({M_0} = 200,T = 9,M\left( t \right) = 100\) ta có:

\(100 = 200{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = 1 \Leftrightarrow t = 9\)

Vậy sau 9 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 100 g.

b) Với \({M_0} = 200,T = 9,M\left( t \right) = 50\) ta có:

\(50 = 200{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = 2 \Leftrightarrow t = 18\)

Vậy sau 18 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 50 g.

c) Với \({M_0} = 200,T = 9,M\left( t \right) = 20\) ta có:

\(20 = 200{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = {\log _2}10 \Leftrightarrow t = 9{\log _2}10 \approx 29,9\)

Vậy sau 29,9 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 50 g.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Khi \(b > 0\), đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = b\) cắt nhau tại một điểm duy nhất. Khi đó phương trình \({a^x} = b\) có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\).

Khi \(b \le 0\), đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = b\) không có điểm chung. Khi đó phương trình \({a^x} = b\)  vô nghiệm.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Số cá thể vi khuẩn ban đầu mẻ có là:

\(P\left( 0 \right) = {50.10^{k.0}} = {50.10^0} = 50\) (cá thể)

b) Với \(t = 1,P\left( t \right) = 100\) ta có:

\(P\left( 1 \right) = {50.10^{k.1}} \Leftrightarrow 100 = {50.10^k} \Leftrightarrow {10^k} = 2 \Leftrightarrow k = \log 2 \approx 0,3\)

c) Thời gian để số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 50000 là:

\(50000 = {50.10^{0,3t}} \Leftrightarrow {10^{0,3t}} = 1000 \Leftrightarrow 0,3t = \log 1000 \Leftrightarrow 0,3t = 3 \Leftrightarrow t = 10\) (giờ)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \({3^{x + 2}} = \sqrt[3]{9} \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {9^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {\left( {{3^2}} \right)^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {3^{\frac{2}{3}}} \Leftrightarrow x + 2 = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x =  - \frac{4}{3}\)

b) \({2.10^{2{\rm{x}}}} = 30 \Leftrightarrow {10^{2{\rm{x}}}} = 15 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = \log 15 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\log 15\)

c) \({4^{2{\rm{x}}}} = {8^{2{\rm{x}} - 1}} \Leftrightarrow {\left( {{2^2}} \right)^{2{\rm{x}}}} = {\left( {{2^3}} \right)^{2{\rm{x}} - 1}} \Leftrightarrow {2^{4{\rm{x}}}} = {2^{6{\rm{x}} - 3}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} = 6{\rm{x}} - 3 \Leftrightarrow  - 2{\rm{x}} =  - 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) =  - 2\)

Điều kiện: \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 6\).

b) \({\log _2}\left( {x + 6} \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right) + 1\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6 > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 6\\x >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x >  - 1\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 4\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)