Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh \(\widehat{APO}=\widehat{PBT}.\)
Bài 4: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Bài 27 (SGK trang 79)
Thảo luận (1)
Bài 28 (SGK trang 79)
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Nối AB. Ta có:
=
(1)
( cùng chắn cung và có số đo bằng
sđ
)
=
(2)
(cùng chắn cung nhỏ
và có số đo bằng sđ
)
TỪ (1) và (2) có
(Trả lời bởi Nguyễn Đắc Định)
Bài 29 (SGK trang 79)
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O') cắt (O) tại C và đối với đường tròn (O) cắt (O') tại D. Chứng minh rằng \(\widehat{CBA}=\widehat{DBA}.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Ta có:
(1)
( vì
là góc tạo bởi một tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm A của (O')).
và
(2)
góc nội tiếp của đường tròn (O') chắn cung
Từ (1), (2) suy ra
(3)
Chứng minh tương tự với đường tròn (O), ta có:
(4)
Hai tam giác ABD và ABC thỏa (3), (4) suy ra cặp góc thứ 3 của chúng bằng nhau, vậy
=
(Trả lời bởi Nguyễn Đắc Định)
Bài 30 (SGK trang 79)
Chứng minh định lý đảo của định lý về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn. một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.
O A B
Đọc tiếp
Chứng minh định lý đảo của định lý về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn. một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Theo giả thiết,
Suy ra:
=
Hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau ( OC ⊥ AB).
Vậy cặp cạnh kia cũng phải vuông góc, tức là OA ⊥ Ax.
Vậy Ax phải là tiếp tuyến của (O) tại A
(Trả lời bởi Nguyễn Đắc Định)
Bài 31 (SGK trang 79)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở A. Tính \(\widehat{ABC};\widehat{BAC}.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
là góc tạo bởi hai tiếp tuyến BA và dây cung BC của (O). Dây BC = R suy ra
=
và
.
(Trả lời bởi Nguyễn Đắc Định)
=
-
=
(tổng các góc của một tứ giác bằng
)
Bài 32 (SGK trang 80)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tạo P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T).
Chứng minh \(\widehat{BTP}+2.\widehat{TPB}=90^o.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Ta có
là góc tạo bởi tiếp tuyến PT và dây cung PB của đường tròn (O) nên
sđ cung BP (cung nhỏ BP) (1)
Lại có
= sđ cung BP (2)
(góc ở tâm và cung bị chắn có cùng số đo)
Từ (1) và (2) suy ra
Trong tam giác vuông TPO ( OP ⊥ TP vì TP là tiếp tuyến) ta có
=
hay
(Trả lời bởi Nguyễn Đắc Định)
Bài 33 (SGK trang 80)
Cho A, B, C là ba điểm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh rằng AB.AM = AC.AN.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có
=
(so le trong) (1)
(2)
( là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, chắn cung AB,
Từ (1) và (2) suy ra:
Xét hai tam giác AMN và ACB. chúng có:
chung
Vậy ∆AMN ~ ∆ACB, từ đó
=
, suy ra AB. AM = AC . AN
(Trả lời bởi Nguyễn Đắc Định)
Bài 34 (SGK trang 80)
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.
Chứng minh MT2 = MA. MB.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Xét hai tam giác BMT và TMA, chúng có:
chung
=
(cùng chắn cung nhỏ
)
nên ∆BMT ~ ∆TMA, suy ra
=
hay MT2 = MA. MB
(Trả lời bởi Nguyễn Đắc Định)
Bài 35 (SGK trang 80)
Trên bở biển có một ngọn hải đăng cao 40 m. Với khoảng cách bao nhiêu km thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt thường quan sát ở độ cao 10 m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6 400 km.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Áp dụng kết quả bài tập 34 ta có:
MT2 = MA. MB
MT2 = MA.(MA + 2R)
Thay số vào đẳng thức trên và lấy đơn vị là km, ta có:
MT2 = 0,04 (0,04 + 12.800)
MT ≈ 23 (km)
Cũng tương ta có;
MT2 = 0,01(0,01 +12.800)
MT ≈ 11 (km)
Từ đó: MM' = MT + M'T = 23+11= 34(km)
Vậy khi ngọn hải đăng khoảng 34 km thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.
(Trả lời bởi Nguyễn Đắc Định)
Bài 24 (Sách bài tập - tập 2 - trang 103)
Hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường tròn left(Cinleft(Oright),Dinleft(Oright)right)
a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì widehat{CBD} có số đo không đổi
b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm A
Đọc tiếp
Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường tròn \(\left(C\in\left(O\right),D\in\left(O'\right)\right)\)
a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì \(\widehat{CBD}\) có số đo không đổi
b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến CAD quay xung quanh điểm A
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
