Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ
Khởi động (SGK Chân trời sáng tạo trang 64,65)
Thảo luận (1)
Khám phá 1 (SGK Chân trời sáng tạo trang 64,65)
Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm {F_1} và {F_2}. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn {F_1}{F_2}. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.Cho biết 2c là khoảng cách {F_1}{F_2} và 2a + 2c là độ dài của vòng dây.Tính tổng hai khoảng cách {F_1}M và {F_2}M
Đọc tiếp
Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm \({F_1}\) và \({F_2}\). Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn \({F_1}{F_2}\). Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.
Cho biết 2c là khoảng cách \({F_1}{F_2}\) và \(2a + 2c\) là độ dài của vòng dây.
Tính tổng hai khoảng cách \({F_1}M\) và \({F_2}M\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có chiều dài vòng dây là:
\(M{F_1} + {F_1}{F_2} + {F_2}M = 2a + 2c \Rightarrow M{F_1} + {F_2}M = 2a + 2c - {F_1}{F_2} = 2a\)
Vậy tổng khoảng cách \({F_1}M\) và \({F_2}M\) là 2a
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Khám phá 2 (SGK Chân trời sáng tạo trang 64,65)
Cho elip (E) có các tiêu điểm {F_1} và {F_2} và đặt {F_1}{F_2} 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho {F_1}( - c;0) và {F_2}(c;0)Xét điểm M(x;y)a) Tính {F_1}M và {F_2}M theo x, y và cb) Giải thích phát biểu sau:M(x;y) in (E) Leftrightarrow sqrt {{{left( {x + c} right)}^2} + {y^2}} + sqrt {{{left( {x - c} right)}^2} + {y^2}} 2a
Đọc tiếp
Cho elip (E) có các tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) và đặt \({F_1}{F_2} = 2c\). Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \({F_1}( - c;0)\) và \({F_2}(c;0)\)
Xét điểm \(M(x;y)\)
a) Tính \({F_1}M\) và \({F_2}M\) theo x, y và c
b) Giải thích phát biểu sau:
\(M(x;y) \in (E) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} = 2a\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có:
\(\overrightarrow {{F_1}M} = \left( {x + c;y} \right) \Rightarrow {F_1}M = \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} \)
\(\overrightarrow {{F_2}M} = \left( {x - c;y} \right) \Rightarrow {F_2}M = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} \)
b) Ta có \(M(x;y) \in (E)\) nên \({F_1}M + {F_2}M = 2a \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} = 2a\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Thực hành 1 (SGK Chân trời sáng tạo trang 64,65)
Viết phương trình chính tắc của elip trong hình 4.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiDựa vào hình vẽ ta thấy \(a = 3,c = 2 \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Vận dụng 1 (SGK Chân trời sáng tạo trang 64,65)
Một đường hầm có mặt các hình nửa Elip cao 4 m, rộng 10 m (hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiChiều cao là 4 m tương ứng với \(b = 4\)
Chiều rộng bằng 10 m nên \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)
Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{16} = 1\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Khám phá 3 (SGK Chân trời sáng tạo trang 65-67)
Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm {F_1} và {F_2}. Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d - l 2a nhỏ hơn khoảng cách {F_1}{F_2} (hình 6a).Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm {F_2}. Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm {F_1}. Tựa đầu bút chì vào dây, di chuyển điểm M trên tấm bìa và giữ sao cho dây luôn căng, đoạn AM ép sát vào thước, khi đó M sẽ gạch lên tấm bìa...
Đọc tiếp
Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm \({F_1}\) và \({F_2}\). Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho \(d - l = 2a\) nhỏ hơn khoảng cách \({F_1}{F_2}\) (hình 6a).
Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm \({F_2}\). Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm \({F_1}\). Tựa đầu bút chì vào dây, di chuyển điểm M trên tấm bìa và giữ sao cho dây luôn căng, đoạn AM ép sát vào thước, khi đó M sẽ gạch lên tấm bìa một đường (H) (xem hình 6b)
a) Chứng tỏ rằng khi M di động, ta luôn có \(M{F_1} - M{F_2} = 2a\)
b) Vẫn đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào \({F_1}\), đầu B của thước trùng với \({F_2}\) sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh \({F_2}\)và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (hình 6c). Tính \(M{F_2} - M{F_1}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Khi điểm M trùng với điểm A ta có:
\(M{F_1} - M{F_2} = A{F_1} - A{F_2} = AB - A{F_2} = d - l = 2a\)
b) Tương tự khi điểm M trùng với điểm A ta có:
\(M{F_2} - M{F_1} = A{F_2} - A{F_1} = AB - A{F_1} = d - l = 2a\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Khám phá 4 (SGK Chân trời sáng tạo trang 65-67)
Cho hyperbol (H) có các tiêu điểm {F_1} và {F_2} và đặt điểm {F_1}{F_2} 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho {F_1}( - c;0) và {F_2}(c;0)Xét điểm M(x;y)a) Tính {F_1}M và {F_2}M theo x, y và cb) Giải thích phát biểu sau:M(x;y) in (H) Leftrightarrow left| {sqrt {{{left( {x + c} right)}^2} + {y^2}} - sqrt {{{left( {x - c} right)}^2} + {y^2}} } right| 2a
Đọc tiếp
Cho hyperbol (H) có các tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) và đặt điểm \({F_1}{F_2} = 2c\). Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \({F_1}( - c;0)\) và \({F_2}(c;0)\)
Xét điểm \(M(x;y)\)
a) Tính \({F_1}M\) và \({F_2}M\) theo x, y và c
b) Giải thích phát biểu sau:
\(M(x;y) \in (H) \Leftrightarrow \left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có:
\(\overrightarrow {{F_1}M} = \left( {x + c;y} \right) \Rightarrow {F_1}M = \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} \)
\(\overrightarrow {{F_2}M} = \left( {x - c;y} \right) \Rightarrow {F_2}M = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} \)
b) Ta có \(M(x;y) \in (E)\) nên \(\left| {{F_1}M - {F_2}M} \right| = 2a \Leftrightarrow \left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Thực hành 2 (SGK Chân trời sáng tạo trang 65-67)
Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục nhỏ bằng 6.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(2c = 10 \Rightarrow c = 5,2b = 6 \Rightarrow b = 3\)
Suy ra \(a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)
Vậy phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Vận dụng 2 (SGK Chân trời sáng tạo trang 65-67)
Một tháp làm nguội của một nhà cát có mặt cắt là một hypebol có phương trình frac{{{x^2}}}{{{{27}^2}}} - frac{{{y^2}}}{{{{40}^2}}} 1 (hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tìm bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp.
Đọc tiếp
Một tháp làm nguội của một nhà cát có mặt cắt là một hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{27}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{40}^2}}} = 1\) (hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tìm bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi khoảng cách từ tâm đối xứng đến đỉnh tháp là z
Suy ra khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là 2z
Ta có \(z + 2z = 120 \Rightarrow z = 40\)
Thay \(y = 40\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{27}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{40}^2}}} = 1\) ta tìm được \(x = 27\sqrt 2 \)
Thay \(y = 80\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{27}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{40}^2}}} = 1\) ta tìm được \(x = 27\sqrt 5 \)
Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là \(27\sqrt 2 \) và \(27\sqrt 5 \)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Khám phá 5 (SGK Chân trời sáng tạo trang 68-70)
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm Fleft( {0;frac{1}{2}} right), đường thẳng Delta :y + frac{1}{2} 0 và điểm M(x;y). Để tìm hệ thức giữa x và y sao cho M cách đều F và Delta , một học sinh đã làm như sau:+) Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M trên Delta ):MF sqrt {{x^2} + {{left( {y - frac{1}{2}} right)}^2}} ,MH dleft( {M,Delta } right) left| {y + frac{1}{2}} right|+) Điều kiện để M cách đều F và Delta :begin{array}{l}MF dleft( {M,Delta } right) Leftrightarrow sqrt {{x^2} + {{left( {y - f...
Đọc tiếp
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(F\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\), đường thẳng \(\Delta :y + \frac{1}{2} = 0\) và điểm \(M(x;y)\). Để tìm hệ thức giữa x và y sao cho \(M\) cách đều F và \(\Delta \), một học sinh đã làm như sau:
+) Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M trên \(\Delta \)):
\(MF = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2}} ,MH = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {y + \frac{1}{2}} \right|\)
+) Điều kiện để M cách đều F và \(\Delta \):
\(\begin{array}{l}MF = d\left( {M,\Delta } \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \left| {y + \frac{1}{2}} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 2y \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}{x^2}\left( * \right)\end{array}\)
Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiĐồ thị của hàm số (*) vừa tìm được có dạng là hàm số bậc 2 khuyết b và c tập hợp các điểm cách đều nhau qua một đường thẳng, đồ thị của hàm bậc 2 này có tên gọi là parabol.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)