Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\3x + 2y = 8\end{array} \right.\)
b. \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}y = - 2\\\frac{3}{2}x - y = 4\end{array} \right.\)
c. \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = 1\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a. \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\x - y = 2\end{array} \right.\);
b. \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 5y = 11\\2x - 3y = 0\end{array} \right.\);
c. \(\left\{ \begin{array}{l}12x + 18y = - 24\\ - 2x - 3y = 4\end{array} \right.\);
d. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 5\\ - 2x + 6y = 10\end{array} \right.\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia. \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = 2\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình:
\(3x = 6\), tức là \(x = 2\)
Thế \(x = 2\) vào phương trình (2), ta nhận được phương trình: \(2 - y = 2\) (3)
Giải phương trình (3), ta có: \(y = 0\).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)\).
b. \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 5y = 11\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - 3y = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình (2) với 2 và giữ nguyên phương trình (1), ta được hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 5y = 11\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\4x - 6y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: \(11y = 11\) (5)
Giải phương trình (5), ta có:
\(\begin{array}{l}11y = 11\\\,\,\,\,\,y = 1\end{array}\)
Thế giá trị \(y = 1\) vào phương trình (2), ta được phương trình: \(2x - 3.1 = 0\) (6)
Giải phương trình (6):
\(\begin{array}{l}2x - 3.1 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x = 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{3}{2}\end{array}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{3}{2};1} \right)\).
c. \(\left\{ \begin{array}{l}12x + 18y = - 24\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x - 3y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Chia hai vế của phương trình (1) với \( - 6\) và giữ nguyên phương trình (2), ta được hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x - 3y = 4\,\,\,\left( 3 \right)\\ - 2x - 3y = 4\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Trừ từng vế của phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: \(0x + 0y = 0\) (5)
Do đó phương trình (5) có vô số nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
d. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x + 6y = 10\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\)
Chia hai vế của phương trình (2) với \( - 2\) và giữ nguyên phương trình (1), ta được hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 5\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\x - 3y = - 5\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Trừ từng vế của phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: \(0y = 10\) (5)
Do đó phương trình (5) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có vô nghiệm.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Xác định \(a,b\) để đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A,B\) trong mỗi trường hợp sau:
a. \(A\left( {1; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 11} \right)\);
b. \(A\left( {2;8} \right)\) và \(B\left( { - 4;5} \right)\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia.
Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) nên ta có phương trình: \(a + b = - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( { - 2; - 11} \right)\) nên ta có phương trình: \( - 2a + b = - 11\,\,\left( 2 \right)\)Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2a + b = - 11\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Ta giải hệ phương trình trên:
+ Trừ từng vế của phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình \(3a = 9\), tức là \(a = 3\).
+ Thế giá trị \(a = 3\) vào phương trình (1), ta được phương trình: \(3 + b = - 2\) (3)
+ Giải phương trình (3): \(b = - 5\).
+ Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {a;b} \right) = \left( {3; - 5} \right)\).
Vậy ta có hàm số: \(y = 3x - 5\).
b.
Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {2;8} \right)\) nên ta có phương trình: \(2a + b = 8\,\,\,\left( 1 \right)\)
Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( { - 4;5} \right)\) nên ta có phương trình: \( - 4a + b = 5\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 4a + b = 5\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Ta giải hệ phương trình trên:
+ Trừ từng vế của phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình \(6a = 3\) tức là \(a = \frac{1}{2}\).
+ Thế giá trị \(a = \frac{1}{2}\) vào phương trình (1), ta được phương trình: \(2.\frac{1}{2} + b = 8\) (3)
+ Giải phương trình (3):
\(\begin{array}{l}1 + b = 8\\\,\,\,\,\,\,b = 7\end{array}\)
+ Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(\left( {a;b} \right) = \left( {\frac{1}{2};7} \right)\).
Vậy ta có hàm số: \(y = \frac{1}{2}x + 7\).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Một ca nô đi xuôi dòng một quãng đường 42km hết 1 giờ 30 phút và ngược dòng đó hết 2 giờ 6 phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng và tốc độ của dòng nước. Biết rằng tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường và tốc độ của dòng nước cũng không đổi khi ca nô chuyển động.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiĐổi: 1 giờ 30 phút = \(\frac{3}{2}\) giờ
2 giờ 6 phút = \(\frac{{21}}{{10}}\) giờ
Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là: \(x\) \(\left( {km/h,0 < y < x} \right)\).
Vận tốc của dòng nước là: \(y\,\,\left( {km/h,0 < y < x} \right)\).
+ Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: \(x + y\,\,\left( {km/h} \right)\);
+ Thời gian ca nô xuôi dòng là: \(\frac{{42}}{{x + y}}\) (giờ);
+ Do thời gian ca nô xuôi dòng hết 1 giờ 30 phút nên ta có phương trình: \(\frac{{42}}{{x + y}} = \frac{3}{2}\) (1)
+ Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: \(x - y\,\,\left( {km/h} \right)\);
+ Thời gian ca nô ngược dòng là: \(\frac{{42}}{{x - y}}\) (giờ);
+ Do thời gian ca nô ngược dòng hết 2 giờ 6 phút nên ta có phương trình: \(\frac{{42}}{{x - y}} = \frac{{21}}{{10}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{42}}{{x + y}} = \frac{3}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{42}}{{x - y}} = \frac{{21}}{{10}}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Ta giải hệ phương trình trên:
Từ phương trình (1), ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{42}}{{x + y}} = \frac{3}{2}\\3x + 3y = 84\end{array}\)
\(x + y = 28\) (3)
Từ phương trình (2), ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{42}}{{x - y}} = \frac{{21}}{{10}}\\21x - 21y = 420\end{array}\)
\(x - y = 20\) (4)
Cộng từng vế của phương trình (3) và (4), ta được: \(2x = 48\) tức là \(x = 24\).
Thay giá trị \(x = 24\) vào phương trình (4), ta được: \(24 + y = 28\) (5)
Giải phương trình (5): \(y = 4\).
Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {24;4} \right)\).
Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 24km/h;
Vận tốc của dòng nước là 4km/h.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bác Phương chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng tiền lãi thu được là 54 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm và khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm. Tính số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi \(x,y\) (triệu đồng) là số tiền bác Phương đầu tư cho mỗi khoản \(\left( {0 < x,y < 800} \right)\).
Do bác Phương gửi tổng 800 triệu đồng cho hai khoản đầu tư nên ta có phương trình:
\(x + y = 800\) (1)
Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm, số tiền là: \(6\% .x = 0,06x\)
Lãi suất cho khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm, số tiền là: \(8\% y = 0,08y\)
Tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng, nên ta có phương trình:
\(0,06x + 0,08y = 54\)
Hay \(6x + 8y = 5400\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 800\\6x + 8y = 5400\end{array} \right.\)
Nhân phương trình (1) với 3, chia phương tình (2) cho 2 ta có hệ phương trình mới:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 2400\,\,\,\left( 3 \right)\\3x + 4y = 2700\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3), ta được: \(y = 300\).
Thế \(y = 300\) vào phương trình (1) ta được\(x + 300 = 800\), tức là: \(x = 500\)
Vậy số tiền bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất là 500 triệu đồng, khoản thứ hai là 300 triệu đồng.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Nhân dịp ngày Giố Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi \(x\) (triệu đồng) là giá niêm yết của tủ lạnh \(\left( {0 < x < 25,4} \right)\);
Gọi \(y\) (triệu đồng) là giá niêm yết của tủ lạnh \(\left( {0 < y < 25,4} \right)\).
Giá niêm yết một tủ lạnh và một máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 25,4\,\,\left( 1 \right)\)
Giá của tủ lạnh sau khi được giảm là: \(x - 40\% x = 60\% x = 0,6x\) (triệu đồng)
Giá của máy giặt sau khi được giảm là: \(y - 25\% y = 75\% y = 0,75y\) (triệu đồng)
Cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng nên ta có:
\(0,6x + 0,75y = 16,77\) hay \(60x + 75y = 1677\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\60x + 75y = 1677\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Nhân phương trình (1) với 60 và giữ nguyên phương trình (2) ta được hệ phương trình mới:
\(\left\{ \begin{array}{l}60x + 60y = 1524\,\,\,\,\left( 3 \right)\\60x + 75y = 1677\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3), ta được \(15y = 153\), tức là \(y = 10,2\).
Thay \(y = 10,2\) vào phương trình (1) ta được \(x + 10,2 = 25,4\) hay \(x = 15,2\).
Vậy giá lúc đầu của tủ lạnh là 15,2 (triệu đồng);
Giá lúc đầu của máy giặt là 10,2 (triệu đồng).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Tìm các hệ số \(x,y\) để cân bằng mỗi phương trình phản ứng hóa học sau:
a. \(2Fe + yC{l_2} \to xFeC{l_3}\);
b. \(xFeC{l_3} + Fe \to yFeC{l_2}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia. Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe và Cl, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2y = 3x\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2y = 3x\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) ta được \(2y = 3.2\) (2)
Giải phương trình (2):
\(\begin{array}{l}2y = 6\\\,\,\,y = 3\end{array}\)
Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\).
Vậy ta có phương trình sau cân bằng: \(2Fe + 3C{l_2} \to 2FeC{l_3}\),
b. Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe và Cl, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = y\\3x = 2y\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = y\\3x = 2y\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Thay \(y = x + 1\) vào phương trình (1), ta được \(3x = 2.\left( {x + 1} \right)\) (2)
Giải phương trình (2), ta được:
\(\begin{array}{l}3x = 2\left( {x + 1} \right)\\3x = 2x + 2\\3x - 2x = 2\\x = 2\end{array}\)
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(y = x + 1\) ta được: \(y = 2 + 1 = 3\).
Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\).
Vậy ta có phương trình sau cân bằng: \(2FeC{l_3} + Fe \to 3FeC{l_2}\).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)