Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây :
a) \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{EG}\)
b) \(\overrightarrow{AF}\) và \(\overrightarrow{EG}\)
c) \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DH}\)
Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc
Bài 1 (SGK trang 97)
Thảo luận (1)
Bài 2 (SGK trang 97)
Cho tứ diện ABCD
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\)
b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có \(AB\perp CD\) và \(AC\perp DB\) thì \(AD\perp BC\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài 3 (SGK trang 97)
a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không ?
b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì nói chung a và b không song song với nhau vì a và b có thể cắt nhau hoặc có thể chéo nhau.
b) Trong không gian nếu a ⊥ b và b ⊥c thì a và c vẫn có thể cắt nhau hoặc chéo nhau do đó, nói chung a và c không vuông góc với nhau.
(Trả lời bởi Lê Thiên Anh)
Bài 4 (SGK trang 98)
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC', C'A. Chứng minh rằng :
a) \(AB\perp CC'\)
b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài 5 (SGK trang 98)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có \(\widehat{\:ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}\). Chứng minh rằng \(SA\perp BC;SB\perp AC;SC\perp AB\) ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải(h.3.19)
= SA.SC.cos
- SA.SB.cos
= 0.
Vậy SA ⊥ BC.
(Trả lời bởi Hiiiii~)
\(\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SB}\left(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}\right)=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA}\)
\(=SB.SC.cos\widehat{BSC}-SB.SA.cos\widehat{BSA}=0\).
Vậy \(SB\perp AC\).
\(\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SC}.\left(\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\right)=\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SA}\)
\(=SC.SB.cos\widehat{BSC}-SC.SA.cos\widehat{CSA}=0\).
Vậy \(SC\perp AB\).
Bài 6 (SGK trang 98)
Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC'D' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O'. Chứng minh rằng \(AB\perp OO'\) và tứ giác CDD'C' là hình chữ nhật ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài 7 (SGK trang 98)
Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng :
\(S=\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2-\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)^2}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài 8 (SGK trang 98)
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^0\). Chứng minh rằng :
a) \(AB\perp CD\)
b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \(MN\perp AB\) và \(MN\perp CD\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiHướng dẫn.
(h.3.21)
a)
=> AB ⊥ CD. b)
Suy ra
Ta có
=> AB ⊥ MN.
Chứng minh tương tự được CD ⊥ MN.
(Trả lời bởi Quang Duy)
Bài 3.8 (Sách bài tập - trang 140)
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng :
\(\overrightarrow{GD.}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}.\overrightarrow{GC}=0\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài 3.9 (Sách bài tập - trang 140)
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng \(AB\perp CD\) ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
