Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Hướng dẫn giải

Do xác suất chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7 nen xác suất chị An trả lời sai câu hỏi thứ nhất là \(1 - 0,7 = 0,3\), suy ra \(P\left( {\bar A} \right) = 0,3\)

Với trường hợp chị An trả lời đúng câu thứ nhất, xác suất chị trả lời đúng câu thứ hai là 0,9. Suy ra xác suất chị trả lời sai câu thứ hai là \(P\left( {\bar B|A} \right) = 1 - 0,9 = 0,1.\)

Suy ra \(P\left( {A\bar B} \right) = 0,7.0,1 = 0,07\).

Với trường hợp chị An trả lời sai câu thứ nhất, xác suất chị trả lời đúng câu thứ hai là 0,5. Suy ra xác suất chị trả lời sai câu thứ hai là \(P\left( {\bar B|\bar A} \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).

Suy ra \(P\left( {\bar A\bar B} \right) = 0,3.0,5 = 0,15\). Ta có sơ đồ hình cây hoàn thiện sau:

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi \(A\) là biến cố “Tuyến phố H bị tắc đường”, \(B\) là biến cố “Sáng hôm đó trời mưa”.

Theo đề bài, ta có \(P\left( B \right) = 0,1\); \(P\left( {A|B} \right) = 0,7\) và \(P\left( {A|\bar B} \right) = 0,2\).

Ta có \(P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,1 = 0,9.\)

Như vậy, xác suất để sáng hôm đó tuyến phố H bị tắc đường là

\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right)P\left( {A|\bar B} \right) = 0,1.0,7 + 0,9.0,2 = 0,25.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Có tất cả \(12 + 18 = 30\) bạn bị tật khúc xạ, trong đó có 18 bạn nam. Vậy xác suất của biến cố là \(\frac{{18}}{{30}} = 0,6\).

b) Có tất cả \(18 + 32 = 50\) bạn nam, trong đó có 18 bạn bị tật khúc xạ. Vậy xác suất của biến cố là \(\frac{{18}}{{50}} = 0,36\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi \(A\) là biến cố “Radar phát cảnh báo”, \(B\) là biến cố “Vật thể bay là mục tiêu thật”.

Xác suất cần tính là \(P\left( {B|A} \right)\).

Theo đề bài, ta có \(P\left( {A|B} \right) = 0,9\); \(P\left( {A|\bar B} \right) = 0,05\); \(P\left( B \right) = 1 - 0,99 = 0,01\) và \(P\left( {\bar B} \right) = 0,99\).

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right)P\left( {A|\bar B} \right) = 0,01.0,9 + 0,99.0,05 = 0,0585.\)

Vậy khi radar phát cảnh báo, xác suất vật thể đó là mục tiêu thật là:

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,01.0,9}}{{0,0585}} = \frac{2}{{13}}.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi \(A\) là biến cố “Tài xế gây tai nạn”, \(B\) là biến cố “Tài xế có sử dụng điện thoại di động”. Suy ra \(P\left( {A|B} \right)\) là xác suất tài xế gây tai nạn khi sử dụng điện thoại, và \(P\left( {A|\bar B} \right)\) là xác suất tài xế gây tai nạn khi không sử dụng điện thoại.

Theo đề bài ta có \(P\left( B \right) = 0,02\), \(P\left( {B|A} \right) = 0,1\), suy ra \(P\left( {\bar B} \right) = 1 - 0,02 = 0,98\) và \(P\left( {\bar B|A} \right) = 1 - 0,1 = 0,9\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = 0,02.P\left( {A|B} \right) + 0,98.P\left( {A|\bar B} \right)\)

Mặt khác, theo công thức Bayes ta có

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {B|A} \right)}} = \frac{{0,02.P\left( {A|B} \right)}}{{0,1}} = 0,2.P\left( {A|B} \right)\)

Suy ra

\(0,2.P\left( {A|B} \right) = 0,02.P\left( {A|B} \right) + 0,98P\left( {A|\bar B} \right) \Rightarrow 0,18.P\left( {A|B} \right) = 0,98.P\left( {A|\bar B} \right)\)

Vậy \(\frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {A|\bar B} \right)}} = \frac{{0,98}}{{0,18}} = \frac{{49}}{9} \approx 5,4\). Điều đó có nghĩa khi sử dụng điện thoại, xác suất tài xế gây tai nạn khi lái xe sẽ tăng khoảng 5,4 lần.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi \(A\) là biến cố “Lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ”, \(B\) là biến cố “Lần thứ hai lấy ra được 2 viên bi đỏ”. Theo đề bài, ta có \(P\left( A \right) = \frac{6}{{3 + 6}} = \frac{2}{3}\) và \(P\left( {\bar A} \right) = \frac{3}{{3 + 6}} = \frac{1}{3}.\)

Trường hợp lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ bỏ vào hộp thứ hai, lúc này hộp thứ hai sẽ có 3 bi xanh và 8 bi đỏ, do đó \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{28}}{{55}}.\)

Trường hợp lần thứ nhất lấy được viên bi xanh bỏ vào hộp thứ hai, lúc này hộp thứ hai sẽ có 4 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ, do đó \(P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{21}}{{55}}.\)

a) Xác suất để lấy được hai viên bi đỏ ở hộp thứ hai là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{2}{3}.\frac{{28}}{{55}} + \frac{1}{3}.\frac{{21}}{{55}} = \frac{7}{{15}}.\)

b) Xác suất để viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ, nếu lấy ra được 2 viên bi đỏ ở hộp thứ hai là:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{2}{3}.\frac{{28}}{{55}}}}{{\frac{7}{{15}}}} = \frac{8}{{11}}.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được 1 học sinh nữ”, \(B\) là biến cố “Chọn được 1 học sinh tham gia câu lạc bộ nghệ thuật”.

Theo đề bài, ta có \(P\left( A \right) = 0,52 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,52 = 0,48\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,18\) và \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,15\).

a) Xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,52.0,18 + 0,48.0,15 = 0,1656\)

b) Xác suất học sinh được chọn là nam, biết rằng em đó có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật là:

\(P\left( {\bar A|B} \right) = \frac{{P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,48.0,15}}{{0,1656}} = \frac{{10}}{{23}}.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi \(A\) là biến cố “Người được chọn đã tiêm phòng”, \(B\) là biến cố “Người được chọn mắc bệnh A”.

Theo đề bài, ta có \(P\left( A \right) = 0,65 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,65 = 0,35\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,05\) và \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,17.\)

a) Xác suất người được chọn mắc bệnh A là:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,65.0,05 + 0,35.0,17 = 0,092.\)

b) Xác suất người được chọn chưa tiêm phòng, nếu người đó mắc bệnh A là:

\(P\left( {\bar A|B} \right) = \frac{{P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,35.0,17}}{{0,092}} = \frac{{119}}{{184}}.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú lùn luôn nói thật, nên xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{4}{7}\). Suy ra \(P\left( {\bar A} \right) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}\).

Nếu chọn được chú lùn luôn nói thật, xác suất chú lùn đó nói thật là 1. Như vậy \(P\left( {B|A} \right) = 1\).

Nếu chọn được chú lùn tự nhận mình nói thật, xác suất chú lùn đó nói thật là 0,5. Như vậy \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,5\).

Vậy xác suất của biến cố \(B\) là

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{4}{7}.1 + \frac{3}{7}.0,5 = \frac{{11}}{{14}}.\)

b) Xác suất chú lùn đó luôn nói thật, nếu bạn Tuyết gặp một chú lùn tự nhận mình nói thật là \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{4}{7}.1}}{{\frac{{11}}{{14}}}} = \frac{8}{{11}}.\)

(Trả lời bởi datcoder)