Cho hai biến cố A, B có P(A) = 0,6; P(B) = 0,8; P(A ∩ B) = 0,4. Tính các xác suất sau:
a) P(B | A); b) P(A ∩ \(\overline{B}\)); c) P( \(\overline{B}\) | A).
Cho hai biến cố A, B có P(A) = 0,6; P(B) = 0,8; P(A ∩ B) = 0,4. Tính các xác suất sau:
a) P(B | A); b) P(A ∩ \(\overline{B}\)); c) P( \(\overline{B}\) | A).
Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:
A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”;
B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
Chứng minh rằng A, B là hai biến cố độc lập.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiXác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{3.7}}{{7.7}} = \frac{3}{7}\). Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{4}{7}\).
Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{7.4}}{{7.7}} = \frac{4}{7}\). Suy ra, \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{3}{4}\).
Biến cố \(A \cap B\): “Lấy ra bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất và bóng màu đỏ ở lần thứ hai”. Suy ra \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{3.4}}{{7.7}} = \frac{{12}}{{49}}\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{12}}{{49}}}}{{\frac{4}{7}}} = \frac{3}{7}\)
Biến cố \(A \cap \overline B \): “Lấy ra bóng màu xanh được lấy ra ở cả hai lần”. Suy ra \(P\left( {A \cap \overline B } \right) = \frac{{3.3}}{{7.7}} = \frac{9}{{49}}\). Khi đó, \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{\frac{9}{{49}}}}{{\frac{3}{7}}} = \frac{3}{7}\).
Do đó, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {A|B} \right) = P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{3}{7}\left( 1 \right)\).
Lại có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{{12}}{{49}}}}{{\frac{3}{7}}} = \frac{4}{7},P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A \cap B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{{4.4}}{{49}}}}{{\frac{4}{7}}} = \frac{4}{7}\).
Do đó, \(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right) = P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{4}{7}\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) suy ra A và B là hai biến cố độc lập.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Cho hai xúc xắc cân đối và đồng chất. Gieo lần lượt từng xúc xắc trong hai xúc xắc đó. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6, biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6”, B là biến cố: “Xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”. Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6 và xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.
Các kết quả thuận lợi của biến cố B là: (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6) nên \(n\left( B \right) = 6\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{6}{{6.6}} = \frac{1}{6}\).
Kết quả thuận lợi của biến cố \(A \cap B\) là: (4; 2) nên \(n\left( {A \cap B} \right) = 1.\) Do đó, \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{36}}\).
Khi đó: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{36}}}}{{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{6}\).
Vậy xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6, biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm là \(\frac{1}{6}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Một doanh nghiệp trước khi xuất khẩu áo sơ mi trong lô hàng S phải qua hai lần kiểm tra chất lượng sản phẩm, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo trong lô hàng đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc áo sơ mi trong lô hàng S. Tính xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi A là biến cố: “Chiếc áo sơ mi được chọn qua được lần kiểm định thứ nhất”, B là biến cố: “Chiếc áo sơ mi được chọn qua được lần kiểm định thứ hai”. Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Chiếc áo sơ mi được chọn đủ tiêu chuẩn xuất khẩu”.
Theo đầu bài ta có: \(P\left( A \right) = 0,98,P\left( {B|A} \right) = 0,95\).
Xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là: \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,98.0,95 = 0,931\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Một lô sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm chất lượng thấp. Lấy liên tiếp 2 sản phẩm trong lô sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào lô sản phẩm. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi hai biến cố:
A: "Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp".
B: "Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp".
Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là P(AB).
Xác suất để lấy ra một sản phẩm chất lượng thấp trong lần đầu tiên: \(P(A) = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}\).
Sau khi đã lấy một sản phẩm chất lượng thấp, số sản phẩm còn lại trong lô là 19 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm chất lượng thấp.
Xác suất để lấy ra một sản phẩm chất lượng thấp trong lần thứ hai, sau khi sản phẩm đầu lấy ra chất lượng thấp: \(P(B|A) = \frac{4}{{19}}\).
Ta có \(P(AB) = P(A).P(B|A) = \frac{1}{4}.\frac{4}{{19}} = \frac{1}{{19}}\).
Vậy xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là \(\frac{1}{{19}}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Trên giá sách có 10 quyển sách Khoa học và 15 quyển sách Nghệ thuật. Có 9 quyển sách viết bằng tiếng Anh, trong đó 3 quyển sách Khoa học và 6 quyển sách Nghệ thuật, các quyển sách còn lại viết bằng tiếng Việt. Lấy ngẫu nhiên một quyển sách. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt, biết rằng quyển sách đó là sách Khoa học.