Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Hướng dẫn giải

a) ∆y = f(x₀+∆x) - f(x₀) = f(2) - f(1) = 2³ - 1³ = 7.

b) ∆y = f(x₀+∆x) - f(x₀) = f(0,9) - f(1) = - 1³ = - 1 = -0,271.

(Trả lời bởi Minh Hải)

Hướng dẫn giải

a) ∆y = f(x+∆x) - f(x) = 2(x+∆x) - 5 - (2x - 5) = 2∆x và = = 2.

b) ∆y = f(x+∆x) - f(x) = (X+ ∆x)² - 1 - (x² - 1) = 2x∆x + (∆x)² = ∆x(2x + ∆x) và = = 2x + ∆x.

c) ∆y = f(x+∆x) - f(x) = 2(x + ∆x)³ - 2x³ = 6x²∆x + 6x(∆x)² + 2(∆x)³ = 2∆x.(3x² + 3x∆x + (∆x)² ) và = 6x² + 6x∆x + 2(∆x)².

d) ∆y = f(x+∆x) - f(x) = - = - và = .

(Trả lời bởi Minh Hải)

Hướng dẫn giải

a) Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x₀ = 1. Ta có:

∆y = f(1 + ∆x) - f(1) = (1 + ∆x)² + (1 + ∆x) - (1²+ 1) = 3∆x + (∆x)^2;

= 3 + ∆x; = (3 + ∆x) = 3.

Vậy f'(1) = 3.

b) Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x₀ = 2. Ta có:

∆y = f(2 + ∆x) - f(2) = - = - ;

= - ; = - = - .

Vậy f'(2) = - .

c) Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x₀ = 0.Ta có:

∆y = f(∆x) - f(0) = - ( -1) = ;

= ; = = -2.

Vậy f'(0) = -2

(Trả lời bởi Minh Hải)

Hướng dẫn giải

Ta có f(x) = (x – 1)² = 1 và f(x) = (-x²) = 0.

vì f(x) ≠ nên hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0, do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.

Ta có = = (2 + ∆x) = 2.

Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = 2 và f'(2) = 2.

(Trả lời bởi Minh Hải)

Hướng dẫn giải

y' = 3x².

a)Ta có: \(y'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow\) y' (-1) = 3. \(\Rightarrow\) k=3. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1;-1) là : y - (-1) = 3[x - (-1)] \(\Leftrightarrow\) y = 3x+2.

b) Ta có:\(y'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow\)y' (2) = 12. \(\Rightarrow\) k=12. Ngoài ra ta có y(2) = 8. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

y - 8 = 12(x - 2) \(\Leftrightarrow\) y = 12x -16.

c) Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm. Ta có:

y' (x₀) = 3 <=> 3x₀² = 3 <=> x₀²= 1 <=> x₀ = ±1.

Với x₀ = 1 ta có y(1) = 1, phương trình tiếp tuyến là

y - 1 = 3(x - 1) \(\Leftrightarrow\) y = 3x - 2.

Với x₀ = -1 ta có y(-1) = -1, phương trình tiếp tuyến là

y - (-1) = 3[x - (-1)] \(\Leftrightarrow\) y = 3x + 2

 

(Trả lời bởi Minh Hải)

Hướng dẫn giải

y' = - .

a) Ta có: \(y'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow\) y' = -4. \(\Rightarrow\)k= -4. Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm (; 2) là y - 2 = -4(x - ) hay y = -4x + 4.

b)Ta có:\(y'\left(x_0\right)=k\Leftrightarrow\) y' (-1) = -1.\(\Rightarrow\) k= -1. Ngoài ra, ta có y(-1) = -1. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là -1 là

y - (-1) = -[x - (-1)] \(\Leftrightarrow\) y = -x - 2.

c) Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm. Ta có

y' (x₀) = - <=> - = - <=> x₀² = 4 <=> x₀ = ±2.

Với x₀ = 2 ta có y(2) = , phương trình tiếp tuyến là

y - = - (x - 2) \(\Leftrightarrow\) y = x + 1.

Với x₀ = -2 ta có y (-2) = - , phương trình tiếp tuyến là

y - = - [x - (-2)] \(\Leftrightarrow\) y = - x -1

(Trả lời bởi Minh Hải)

Hướng dẫn giải

a) Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến t + ∆t là

v_{tb = = = g .(2t + ∆t) ≈ 4,9. (2t + ∆t).}

Với t = 5 và

+) ∆t = 0.1 thì v_tb ≈ 4,9. (10 + 0,1) ≈ 49,49 m/s;

+) ∆t = 0,05 thì v_tb ≈ 4,9. (10 + 0,05) ≈ 49,245 m/s;

+) ∆t = 0,001 thì v_tb ≈ 4,9. (10 + 0,001) ≈ 49,005 m/s.

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s tương ứng với ∆t = 0 nên v ≈ 4,9 . 10 = 49 m/s.

(Trả lời bởi Minh Hải)

Hướng dẫn giải

ta có : \(f'\left(1\right)=\dfrac{lim}{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\dfrac{lim}{x\rightarrow1}\dfrac{3x^2-4x+9-8}{x-1}\)

\(=\dfrac{lim}{x\rightarrow1}\dfrac{3x^2-4x+1}{x-1}=\dfrac{lim}{x\rightarrow1}\dfrac{\left(3x-1\right)\left(x-1\right)}{x-1}=\dfrac{lim}{x\rightarrow1}\dfrac{3x-1}{ }=2\)

vậy \(f'\left(1\right)=2\)

(Trả lời bởi Mysterious Person)