Question

Xét tính liên tục của hàm số:

a) \(f\left( x \right) = 1 - {x^2}\) tại điểm \({x_0} = 3\);  

b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{khi\,\,x > 1}\\{ - x}&{khi\,\,x \le 1}\end{array}} \right.\) tại điểm \({x_0} = 1\).

Answer 1

a) \(f\left( 3 \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 =  - 8\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {1 - {x^2}} \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 =  - 8\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) =  - 8\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\).

b) \(f\left( 1 \right) =  - 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {1^2} + 1 = 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x} \right) =  - 1\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)

Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).