a: ΔABC vuông tại A
mà AM là trung tuyến
nên MA=MB=MC=BC/2
Xét ΔMAB có MA=MB và \(\widehat{MBA}=60^0\)
nên ΔMAB đều
b: ΔBAM đều
mà BH là đường cao
nên H là trung điểm của AM
Xét ΔHNM vuông tại H và ΔHBA vuông tại H có
HM=HA
\(\widehat{HMN}=\widehat{HAB}\)(MN//AB)
Do đó: ΔHNM=ΔHBA
=>HN=HB
=>H là trung điểm của BN
Xét tứ giác ABMN có
H là trung điểm chung của AM và BN
BM=BA
Do đó: ABMN là hình thoi
c: ABMN là hình thoi
=>\(\widehat{NMB}=180^0-\widehat{MBA}=180^0-60^0=120^0\)
Xét ΔMNB có \(cosNMB=\dfrac{MN^2+MB^2-BN^2}{2\cdot MN\cdot MB}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^2+AB^2-BN^2}{2\cdot AB\cdot AB}=-\dfrac{1}{2}\)
=>\(2AB^2-BN^2=-AB^2\)
=>\(BN^2=3AB^2\)
Xét ΔMAC có \(cosAMC=\dfrac{MA^2+MC^2-AC^2}{2\cdot MA\cdot MC}\)
=>\(\dfrac{AB^2+AB^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot AB}=cos120=\dfrac{-1}{2}\)
=>\(2AB^2-AC^2=-AB^2\)
=>\(AC^2=3AB^2\)
=>\(AC^2=BN^2\)
=>AC=BN
