Vào năm 1938, nhà vật lí Frank Benford đã đưa ra một phương pháp để xác định xem một bộ số đã được chọn ngẫu nhiên hay đã được chọn theo cách thủ công. Nếu bộ số này không được chọn ngẫu nhiên thì công thức Benford sau sẽ được dùng ước tính xác suất \(P\) để chữ số d là chữ số đầu tiên của bộ số đó: \(P = \log \frac{{d + 1}}{d}\). (Theo F. Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938), \(551 - 572)\).
Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là 9 bằng khoảng \(4,6\% \) (thay \(d = 9\) trong công thức Benford để tính \(P\) ).
a) Viết công thức tìm chữ số \(d\) nếu cho trước xác suất \(P\).
b) Tìm chữ số có xác suất bằng \(9,7\% \) được chọn.
c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.
\(a,P=log\left(\dfrac{d+1}{d}\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{d+1}{d}=10^P\\ \Leftrightarrow1+\dfrac{1}{d}=10^P\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{d}=10^P-1\\ \Leftrightarrow d=\dfrac{1}{10^P-1}\)
b, Chữ số có xác suất bằng 9,7% nên ta có P = 9,7%
Ta có: \(d=\dfrac{1}{10^P-1}=\dfrac{1}{10^{9,7\%}-1}\approx4\)
Vậy chữ số 4 có xác suất bằng 9,7% được chọn.
c, Xác suất để chữ số đầu tiên là 1
\(P=log\left(\dfrac{1+1}{1}\right)\approx0,3\)