Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ \(MI\perp AB,MK\perp AC\) (\(I\in AB,K\in AC\))
a. vẽ MP\(\perp\)BC (P\(\in\)BC). chứng minh góc MPK= góc MBC
b. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC đề tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất
a) xét tứ giác KMPC ta có : MPC = 90 (MP\(\perp\)BC)
MKC = 90 (MK\(\perp\)AC)
\(\Rightarrow\) MPC + MKC = 180
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác KMPC nội tiếp
\(\Rightarrow\) MPK = MCK (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MK của tứ giác KMPC)
MCK = MBC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắng cung CM của (o))
\(\Rightarrow\) MPK = MBC (đpcm)
xét tứ giác PBMI ta có :
BPM = 90 (MP\(\perp\)BC)
BIM = 90 (MI\(\perp\)BA)
\(\Rightarrow\) BPM + BIM = 180
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác PBMI là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\) MIP = MBP (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MP của tứ giác PBMI )
mà MBP = MPK (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\) MIP = MPK
ta có : PMI + PBI = 180
PMK + PCK = 180
mà ABC = ACB
\(\Rightarrow\) PMK = PMI
xét \(\Delta\) MIP và \(\Delta\) MPK
ta có : PMK = PMI (chứng minh trên)
MIP = MPK (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MIP đồng dạng \(\Delta\) MPK
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{MI}{MP}\) = \(\dfrac{MP}{MK}\) \(\Leftrightarrow\) MP2 = MI . MK
\(\Rightarrow\) MI . MK . MP = MP3
\(\Rightarrow\) MI . MK . MP lớn nhất \(\Leftrightarrow\) MP lớn nhất
\(\Rightarrow\) M nằm chính giửa BC
