Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc của hệ tọa độ.

B(a;0;0); D(0;a;0); A'(0;0;b); (a>0;b>0)

Gọi M là trung điểm của CC'

a. Tìm thể tích khối tứ diện BDA'M theo a, b

b. Xác định tỉ số \(\frac{a}{b}\) để 2 mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

Answer 1

a. Từ giả thiết ta có :

\(C\left(a;a;0\right);C'\left(a;a;b\right);D'\left(0;a;b\right);B'\left(a;0;b\right)\)

Vì M là trung điểm của CC' nên \(M=\left(a;a;\frac{b}{2}\right)\)

Ta có :

\(\overrightarrow{BD}=\left(-a;a;0\right)\)

\(\overrightarrow{BA}=\left(-a;0;b\right)\)

\(\overrightarrow{BM}=\left(0;a;\frac{b}{2}\right)\)

Vì thế \(\left[\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA'}\right]=\left(\left|\begin{matrix}a&0\\0&b\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&-a\\b&-a\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-a&a\\-a&0\end{matrix}\right|\right)\)

                              \(=\left(ab,ab,a^2\right)\)

Vậy \(V_{BDa'M}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA'}\right].\overrightarrow{BM}\right|=\frac{1}{6}\left|a^2b+\frac{a^2b}{2}\right|=\frac{a^2b}{4}\)

b. Gọi K là trung điểm của BD. Do \(A'B=A'D\Rightarrow A'K\perp BD\)

Lại có \(MB=MD\Rightarrow MK\perp BD\)

Vậy \(\widehat{A'KM}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{A'K}.\overrightarrow{MK}=0\)

Ta có : 

\(K=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)\) do đó :

\(\overrightarrow{A'K}=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-b\right)\)

\(\overrightarrow{MK}=\left(-\frac{a}{2};\frac{-a}{2};\frac{-b}{2}\right)\)

Vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow-\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}=0\)

             \(\Leftrightarrow b^2=a^2\)

             \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=1\)

Do (a>0,b>0)  vì thế \(\left(A'BD\right)\perp\left(MBD\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}=1\)