Question

 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right),\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right).\)

Hãy biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) theo ba vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) và tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\).

Answer 1

\(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1};{z_1}) = {x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k \)

\(\overrightarrow v = ({x_2};{y_2};{z_2}) = {x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j + {z_2}\overrightarrow k \)

Ta có: \({\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)

\({\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)

\({\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)

\(\overrightarrow i .\overrightarrow j = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)

\(\overrightarrow j .\overrightarrow k = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)

\(\overrightarrow i .\overrightarrow k = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)

Vậy: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = ({x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k ).({x_2}\overrightarrow i + {y_2}\overrightarrow j + {z_2}\overrightarrow k )\)

\( = {x_1}{x_2}{\overrightarrow i ^2} + {x_1}{y_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {x_1}{z_2}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {y_1}{x_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {y_1}{y_2}{\overrightarrow j ^2} + {y_1}{z_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {z_1}{x_2}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {z_1}{y_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {z_1}{z_2}{\overrightarrow k ^2}\)

\( = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\).