Trở lại tình huống mở đầu. Ở đây, ta hiểu đồng xu nằm đè lên một đường thẳng khi đường tròn (hình ảnh của đồng xu) và đường thẳng ấy cắt nhau.
Bằng cách xét vị trí của tâm đồng xu trong một dải nằm giữa hai đường thẳng song song cạnh nhau (cách đều hoặc không cách đều hai đường thẳng đó), hãy chứng minh rằng chỉ xảy ra các trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp c.
Đường kính của đồng xu là \(2.1 = 2\) cm và bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Giả sử nếu đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng tức là đồng xu đè lên từ 2 đường thẳng trở lên, tức là đường tròn viền của đồng xu sẽ cắt hai đường thẳng nên khoảng cách từ tâm của đồng xu đến 1 đường thẳng bé hơn bán kính.
Do đó ta có: khoảng cách giữa hai đường thẳng song song gần nhất sẽ bé hơn 2 lần bán kính của đường tròn tức là 2 cm (vô lí do khoảng cách giữa hai đường thẳng là 2 cm).
Giả sử sai nên đồng xu không thể cắt hai đường tròn cùng 1 lúc.
Hay đồng xu chỉ cắt tối đa 1 đường thẳng (tức là đè lên 1 đường thẳng) hoặc đồng xu nằm giữa hai đường thẳng (hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn viền ngoài của đồng xu) hay đồng xu không đè lên đường thẳng nào.