Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
EDOGAWA CONAN

Tính giá trị biểu thức :

\(P=\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^3}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}}\)

Phùng Khánh Linh
25 tháng 7 2018 lúc 21:57

Ta có : \(\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{\left(a+1\right)^2}}=\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{a}\right)^2-\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{\left(a+1\right)^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{a+1}{a}\right)^2-2.\dfrac{a+1}{a}.\dfrac{1}{a+1}+\left(\dfrac{1}{a+1}\right)^2}=\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+1}\right)^2}=1+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+1}\left(a>0\right)\) Áp dụng điều này vào bài toán trên , ta được :

\(P=\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}}\) \(P=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+1+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(P=98+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}\)

\(P=\dfrac{9849}{100}\)

Nguyễn Thị Ngọc Thơ
25 tháng 7 2018 lúc 21:47

Với a+b+c =0 (a,b,c \(\ne\) 0) , ta có:

\(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\left|\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right|\)

Áp dụng cho từng thừa số của P, ta có:

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}=\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{-3}\right)-2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}\right)}\)

\(=\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)^2-2.\dfrac{3-2-1}{6}}=\left|1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)

Tương tự :\(\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}=1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}}=1+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(\Rightarrow P=\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\right)\)

\(=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{149}{100}\)


Các câu hỏi tương tự
Tấn Phát
Xem chi tiết
Nguyễn Trâm
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ Hoa
Xem chi tiết
Lê Hương Giang
Xem chi tiết
PTTD
Xem chi tiết
Miền Nguyễn
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Lê Hương Giang
Xem chi tiết
Trang Nguyễn
Xem chi tiết