Câu hỏi của Tường Nguyễn Thế

Question

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dưong (x, y, z, t) của phương trình: $\dfrac{x}{y^2z^2}+\dfrac{y}{z^2x^2}+\dfrac{z}{x^2y^2}=t$

Hung nguyen · Accepted Answer

$\dfrac{x}{y^2z^2}+\dfrac{y}{z^2x^2}+\dfrac{z}{x^2y^2}=t$

$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=tx^2y^2z^2$

Không mất tính tổng quát ta giả sử: $x\ge y\ge z\ge1$

Ta có:

$3x^3\ge x^3+y^3+z^3=tx^2y^2z^2$

$\Leftrightarrow3x\ge ty^2z^2$

$\Leftrightarrow9x^2\ge t^2y^4z^4\left(1\right)$

Ta lại có:

$y^3+z^3⋮x^2$

$\Rightarrow y^3+z^3\ge x^2\left(2\right)$

Từ (1) và (2) $18y^3\ge9\left(y^3+z^3\right)\ge9x^3\ge t^2y^4z^4$

$\Leftrightarrow z^4\le t^2yz^4\le18$

$\Leftrightarrow1\le z\le2$

Tới đây thì đơn giản rồiCâu trả lời: $\dfrac{x}{y^2z^2}+\dfrac{y}{z^2x^2}+\dfrac{z}{x^2y^2}=t$