Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Thu Trang

Tìm giá trị nhỏ nhất

a, (x,y>0 thỏa mãn xy=6)

Q= 2/x + 3/y + 6/(3x+2y)

b, ( x,y,z<1 thỏa mãn x³+y³+z³=3/(2√2) )

P= x² / √(1-x²) + y² / √(1-y²) + z² / √(1-z²)

Nguyễn Việt Lâm
15 tháng 11 2018 lúc 8:01

a/ \(Q=\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{6}{3x+2y}=\dfrac{3}{2x}+\dfrac{9}{4y}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{3}{4y}+\dfrac{6}{3x+2y}\)

\(Q=\left(\dfrac{3}{2x}+\dfrac{9}{4y}\right)+\left(\dfrac{3x+2y}{4xy}+\dfrac{6}{3x+2y}\right)\)

\(Q=\left(\dfrac{3}{2x}+\dfrac{9}{4y}\right)+\left(\dfrac{3x+2y}{24}+\dfrac{6}{3x+2y}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{27}{8xy}}+2\sqrt{\dfrac{6}{24}}=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow Q_{min}=\dfrac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x.y=6\\3x+2y=\sqrt{24.6}=12\\12y=18x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)

b/ Câu này mình chỉ giải được khi đề cho x, y, z là số dương, còn đề bạn đưa ra không thấy nhắc đến. Mình giải với trường hợp x, y, z dương, còn không dương có giải được ko và giải thế nào thì nhờ bạn khác :D

Dựa vào BĐT \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{2}{a+b}\) ta biến đổi:

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}}\ge\dfrac{2x^3}{x^2+1-x^2}=2x^3\)

Tương tự ta có \(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3\) ; \(\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\) ; dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)


Các câu hỏi tương tự
Phan PT
Xem chi tiết
Đặng Cao Thảo Na
Xem chi tiết
Dũng Nguyễn
Xem chi tiết
sunsies
Xem chi tiết
Lê Hồng Ánh
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Ngoc Anh Vu
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết