Một vật có trọng lượng 300 N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm \(P\left(-2;0;0\right),Q\left(1;\sqrt{3};0\right),R\left(1;-\sqrt{3};0\right)\) còn đầu kia gắn với vật tại điểm \(S\left(0;0-2\sqrt{3}\right)\) như Hình 38. Gọi \(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}\) lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp RS, QS và PS. Tìm tọa độ của các lực \(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}\).
Ta có: \(\mathop {SP}\limits^ \to = ( - 2;0;2\sqrt 3 ),\mathop {SQ}\limits^ \to = (1;\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ),\mathop {SR}\limits^ \to = (1; - \sqrt 3 ;2\sqrt 3 )\).
Suy ra: \(\left| {\mathop {SP}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {SQ}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {SR}\limits^ \to } \right| = 4\).
Mặt khác: \(\mathop {SP}\limits^ \to = (3;\sqrt 3 ;0),\mathop {QR}\limits^ \to = (0; - 2\sqrt 3 ;0),\mathop {SR}\limits^ \to = ( - 3;\sqrt 3 ;0)\).
Suy ra: \(\left| {\mathop {QP}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {QR}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {RP}\limits^ \to } \right| = 2\sqrt 3 \) nên tam giác PQR đều.
Do đó: \(\left| {\mathop {{F_1}}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {{F_2}}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {{F_3}}\limits^ \to } \right|\). Tồn tại hằng số \(c \ne 0\) sao cho:
\(\mathop {{F_1}}\limits^ \to = c\mathop {SR}\limits^ \to = (c; - \sqrt 3 c;2\sqrt 3 c)\)
\(\mathop {{F_2}}\limits^ \to = c\mathop {SQ}\limits^ \to = (c;\sqrt 3 c;2\sqrt 3 c)\)
\(\mathop {{F_3}}\limits^ \to = c\mathop {SP}\limits^ \to = ( - 2c;0;2\sqrt 3 c)\)
Suy ra \(\mathop {{F_1}}\limits^ \to + \mathop {{F_2}}\limits^ \to + \mathop {{F_3}}\limits^ \to = (0;0;6\sqrt 3 c)\).
Mà \(\mathop {{F_1}}\limits^ \to + \mathop {{F_2}}\limits^ \to + \mathop {{F_3}}\limits^ \to = \mathop F\limits^ \to \), trong đó \(\mathop F\limits^ \to = (0;0; - 300)\) là trọng lực của vật.
Suy ra \(6\sqrt 3 c = - 300\), tức \(c = \frac{{ - 50\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(\mathop {{F_1}}\limits^ \to = \left( {\frac{{ - 50\sqrt 3 }}{3};50; - 100} \right),\mathop {{F_2}}\limits^ \to = \left( {\frac{{ - 50\sqrt 3 }}{3}; - 50; - 100} \right);\mathop {{F_1}}\limits^ \to = \left( {\frac{{100\sqrt 3 }}{3};0; - 100} \right)\).