Câu 2b) Ta có:
\(VT=\left[\left(x-3\right)^2+2\right]\left[\left(y+1\right)^2+3\right]\ge2.3=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)
\(VP=-\left(z^2-4z+4\right)+6=-\left(z-2\right)^2+6\le6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow z=2\)
Vì \(VT=VP\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-1\\z=2\end{matrix}\right.\)
Câu 5: (đây là 1 dạng toán tư duy, nên bài này ở dạng khó).
Gọi \(h_A,h_B,h_C,h_D\) lần lượt là các đường cao hạ từ D,A,B,C đến các cạnh OA,OB,OC,OD.
Ta có: \(S=S_{OAD}+S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OCD}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(OA.h_D+OB.h_A+OC.h_B+OD.h_C\right)\)
\(\Rightarrow OA.h_D+OB.h_A+OC.h_B+OD.h_C=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\)
Mặt khác, theo quan hệ giữa đg xiên và đg vuông góc, ta có:
\(h_D\le OD;h_A\le OA;h_B\le OB;h_C\le OC\)
\(\Rightarrow OA.OD+OB.OA+OC.OB+OD.OC\ge OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\)(1)
Ta c/m BĐT: \(OA.OD+OB.OA+OC.OB+OD.OC\le OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow2OA.OD+2OB.OA+2OC.OB+2OD.OC\le2OA^2+2OB^2+2OC^2+2OD^2\)
\(\Leftrightarrow0\le\left(OA-OD\right)^2+\left(OB^2-OA^2\right)+\left(OC^2-OB^2\right)+\left(OD^2-OC^2\right)\left(đúng\right)\)
Từ (1), (2) suy ra:
\(OA.OD+OB.OA+OC.OB+OD.OC=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=OA.h_D+OB.h_A+OC.h_B+OD.h_C\)
Điều này chỉ xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}OA\perp OD,OB\perp OA,OC\perp OB\\OA=OB=OC=OD\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\)AC⊥BD tại O, \(OA=OB=OC=OD\)
\(\Leftrightarrow\)ABCD là hình vuông (có tâm O).
Câu 3:
b) \(a,b,c>0\)
\(A=\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\ge\dfrac{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{abc}=\dfrac{8abc}{abc}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà theo đề bài: \(A=8\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy △ABC đều.
Câu 3:
a) \(a,b,c,d\in Z\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2=a^2+b^2+c^2+d^2 +2a\left(a+b\right)-2a\left(c+d\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2+d^2+2a^2+2ab-2ac-2ad\)
\(=\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)\)
\(=\left(a+b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2\)
\(\Rightarrowđpcm\)
