Question

\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:

\(\frac{m^2}{4}+n^2\geq 2\sqrt{\frac{m^2}{4}.n^2}=|mn|\geq mn\)

\(\frac{m^2}{4}+p^2\geq 2\sqrt{\frac{m^2}{4}.p^2}=|mp|\geq mp\)

\(\frac{m^2}{4}+q^2\geq 2\sqrt{\frac{m^2}{4}.q^2}=|mq|\geq mq\)

\(\frac{m^2}{4}+1\geq 2\sqrt{\frac{m^2}{4}}=|m|\geq m\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow m^2+n^2+p^2+q^2+1\geq mn+mp+mq+m=m(n+p+q+1)\)

Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $m=2n=2p=2q=2$